sexta-feira, 27 de dezembro de 2013

Numerais egípcios

O sistema de numeração utilizado no Egito antigo pode ser descrito, em terminologia moderna, como um sistema decimal não posicional (valor de posição). Tanto na escrita hieroglífica, como na hierática, que se desenvolverem a par desde 3300 a.C. (Imhausen) os egípcios utilizavam diferentes símbolos para 1 , 10, 100 , 1000, 10 000 , 100 000 e 1 000 000.

Símbolos da escrita hieroglífica 
Encontra-se, essencialmente, em túmulos, em monumentos e objetos de pedra.


Não se conhece a razão da escolha dos símbolos que representavam cada um dos números.
O número 1 era representado por um traço simples, o número dois por dois traços, etc. O número 10 é representado por uma asa de cesto, de acordo com alguns autores, mas de acordo com outros representa um  ...: O número 100 é representado por uma corda enrolada, uma possível hipótese para tal representação pode ser o facto de se utilizar uma corda com 100 cúbitos ter sido utilizado como medida para determinar as dimensões desconhecidas de terrenos.  
110100100010 000100 0001 000 000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11

O número 1000 é representado por uma flor de lótus. O 10 000 por um dedo - mais uma vez, uma possível hipótese para tal representação pode ser o facto  de 10 000 ser 10 vezes de 1000 e, assim, criar a associação aos nossos dez dedos. O número 100 000 foi representado pelo hieróglifo de um girino - provavelmente devido ao facto de terem observado de que estes aparecem muitas vezes em grande número. O maior símbolos egípcio para um número foi um deus sentado que representa  1 000 000, ou de acordo com alguns autores uma quantidade muito elevada, mas naõ específica.

Para escrever um número específico, cada um destes símbolos era repetido tantas vezes quantas as necessárias.

Placa identificadora em osso encontrado num túmulo (3100 a. C.)
Por exemplo, na placa da imagem está escrito o número 135, utilizando-se uma vez o símbolo de 100, 3 vezes o símbolo de 10 e 5 vezes o símbolo de 1.  
Como o sistema egípcio era não  posicional, os símbolos, especialmente os que representam os números menores (1, 10 e 100), eram agrupados de forma adequada, para caber no espaço disponível ou para uma melhor representação gráfica. Por exemplo, no caso da placa da figura acima, os símbolos estão escritos de cima para baixo do maior para o menor número. Os símbolos também podiam ser representados da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita; mas sempre do maior para o menor, mudando a sua direção, tal como se descreve na tabela abaixo:


Como o sistema de numeração egípcio era não posicional não existia um símbolo para o zero, para escrever 205 bastava não representar o símbolo de dez.

quinta-feira, 26 de dezembro de 2013

Decomposição perfeita de quadrados II



Alguns fabulosos trabalhos realizados com base na
menor decomposição conhecida de um quadrado em diferentes quadrados

Vitral, Prof. Spiegelhalter


Tampo de uma mesa, de R.R.G. Rivington,  1982





Joan Hinchliffe


Pat Ashforth





Puzzle - C.J. Sangwin 



quarta-feira, 25 de dezembro de 2013

Decomposição perfeitas de quadrados I

Eu possível decompor qualquer quadrados em quadrados mais pequenos.
Por exemplo, um quadrado de 3 por 3 pode ser decomposto em 9 quadrados mais pequenos ou em 6 quadrados: 


 

  • Qual é o lado do menor quadrado que se consegue decompor em quadrados todos de tamanhos diferentes?
traduzido e adaptado de 



Solução do problema
O lado do menor quadrado que se consegue decompor em quadrados todos diferentes é 110, eis uma solução:


O problema pode parecer simples, mas na verdade a solução acima e as outras duas apresentadas abaixo só foram descoberto com a ajuda de computadores, em 1978. Nestas três soluções o quadrado, de lado 110, está dividido em 22 quadrados todos diferentes:






O quadrado decomposto no menor número de quadrados diferentes tem 112 de lado e é possível  decompor em 21 quadrados. Foi descoberto em 1978 por  Duijvestijn, com a ajuda de um computador:




A primeira decomposição perfeita de quadrados, ou seja, noutros quadrados todos de tamanhos diferentes, foi descoberta por R. Sprague em 1939, composta por  55 quadrados e com um lado de 4205.

                                                                                                                        

terça-feira, 24 de dezembro de 2013

Dois dados vermelhos e um verde



Lance os dados e adicione as pintas dos dois dados vermelhos e depois subtraia as pintas do dado verde.

Se um dos dados vermelhos é 4 e outro dado vermelho é 5 e o verde é 3 devemos fazer:


5 + 4 = 9                9 - 3 = 6


Deve lançar muitas vezes os dados e ver os resultados obtidos, fazendo a adição e subtração.

Neste jogo deve descobrir:

- quais são todos os resultados possíveis.
- que resultados saem mais vezes e porquê. 
- que resultados têm iguais hipóteses de acontecer e porquê.

Pense noutras questões que pode colocar sobre este jogo.

traduzido e adaptado de 

segunda-feira, 23 de dezembro de 2013

Dados - obter 7

O que é mais provável 

- obter 7 como a soma das pintas das faces de dois dados cúbicos, com pintas de 1 a 6



ou

- obter 7 no lançamento de um dado com 12 faces, numeradas de 1 a 12




Porquê?

domingo, 22 de dezembro de 2013

Soma de dois dados

Observe estes dois dados. 




Se adicionar o número de pontos das faces de cima, o total é 2.
Se lançar dois dados de seis faces, como estes, e adicionar o número de pontos, que resultados pode obter?

Tem mais hipóteses de obter uma soma do que outra qualquer?

Se sim, qual? E por quê?

E se usar um dado com 10 faces, numeradas de 0 a 9, como estes?




Que somas poderá obter?

Tem mais hipóteses de obter uma soma do que outra qualquer?

Se sim, qual? E por quê?

E se utilizar dois dados um com 6 faces e outro com 8 faces?
O que acontecerá?




traduzido e adaptado de 

sábado, 21 de dezembro de 2013

Os burgueses enganados

No início do século XX, várias versões do problema de Josephus aparecem em forma de puzzle, que são comercializados.

Nas versões francesas, de cerca de 1900, os puzzles são compostos por 10 cubos, representando dois conjuntos de personagens: dois burgueses e oito estudantes. O mesmo problema aparece com vários títulos e designs:


Les bourgeois punis

  
Les bourgeois dupés

Le quart d'heure de Rabelais
 O puzzle descrito na caixa do Les bourgeois dupés é o seguinte:

Oito alunos que se pretendem divertir, encontram-se num estabelecimento, sentados à volta de uma mesa, onde ainda há dois lugares livres. Dois burgueses sedentos de participar nas suas conversas animadas, pedem-lhes permissão de ocuparem os lugares vagos da mesa. Eles lha darão de bom coração, mas com a condição seguinte:
É costume entre eles, a seguir a cada serão, de decidir quem paga a conta. Para tal, ao se contarem, o 7.º nada tem a pagar, e continuam, e os dois últimos, que nunca foram o 7.º, pagam a conta.
É conveniente que um aluno escolha de antemão a pessoa porque vai começar.
O objetivo é colocar os dois burgueses de tal forma que estes sejam os dois últimos e sejam obrigados a pagar.

O mesmo problema aparece na língua inglesa, com data desconhecida. As personagens continuam ser os estudantes, e o contexto exatamente o mesmo. Existem duas versões, uma em que apenas um dos dois "citadinos" paga a conta, e outro em que são os dois "desconhecidos" que pagam a conta.