Liu Hui e o Manual Aritmético da Ilha no Mar (Haidao Suanjing)

Medição da altura de uma padoga, pelo método de Liu Hui, ilustração num livro do século XIII

Praticamente não se sabe nada sobre a vida do matemático chinês Liu Hiu (c. 220 a c.280), a não ser que era um oficial no período do rei Wei.

                                                                                                                       Selo editado na China, 2002

Com o objetivo de determinar um valor aproximado de π Liu utilizou um método de divisão círculo: usando um círculo inscreveu sistematicamente polígonos regulares de área calculável, inscrevendo até ao polígono regular com 192 lados, conseguiu determinar 3,141024 como valor aproximado de π. Liu Hui percebeu que o processo de divisão círculo que utilizado era teoricamente infinito, mas que se aproximava, na realidade, de um limite.  Liu estendeu esse conceito de limites e indivisíveis, usando técnicas de dissecação para investigar e verificar fórmulas, já existentes, para o cálculo de volumes e áreas. Em particular, fez um estudo sobre o volume da esfera utilizando métodos teóricos que mais tarde viria a ser conhecido como o princípio de Cavalieri.

Ilustração de Tai Chen da explicação de Liu Hui da determinação de uma aproximação do número π  (Selo editado pela Micronésia, 1999)

Liu Hui escreveu no ano de 263 d.C., um comentário a livro "Nove Capítulos da Arte Matemática" onde fornecia a justificação matemática para as regras e soluções dos Nove Capítulos.Ao seu comentário acrescentou um apêndice ao último capítulo do texto, contendo nove problemas.

Os nove problemas são todos sobre a medição de distâncias, de acordo com os seguintes temas:1 - Problema da ilha do mar.2 - Problema da altura de um pinheiro.3 - Problema da dimensão da distante cidade amuralhada.4 - Problema da profundidade de uma ravina5 - Problema da altura de um edifício visto de cima de um monte.
6 - Problema da largura da foz de um rio.
7 - Problema da profundidade de um lago.
8 - Problema da largura de um rio.
9 - Problema do tamanho de um cidade vista de um ponto mais alto.6 - Problema da largura da foz de um rio.7 - Problema da profundidade de um lago.8 - Problema da largura de um rio.9 - Problema do tamanho de um cidade vista de um ponto mais alto.

Problema 1 Com o objectivo de medir a altura de uma ilha, coloque duas estacas verticais ao chão e de igual altura, 3 zhang, sendo a distância entre ambas de 1000 bu. Assuma que as duas estacas estão alinhadas com a ilha. Afaste-se 123 bu da primeira estaca (a que está mais perto da ilha), e observe o pico da ilha ao nível do chão; parece que a parte de cima da primeira estaca coincide com o pico. Afaste-se 127 bu da segunda estaca e observe o pico da ilha ao nível do chão, de novo; a parte de cima da segunda estaca coincide com o pico. Qual é a altura da ilha e a que distância está da primeira estaca? Solução: A altura da ilha é 4 li e 55 bu; está a 102 li e 150 bu da primeira estaca.

Edição de 1726

 Problema 2

Agora mede um pinheiro de altura desconhecida numa montanha. Coloque duas estacas do mesmo comprimento, 2 zhang, de tal forma que a distância entre as duas seja 50 bu e que estão alinhadas com o pinheiro. Recue 7 bu e 4 chi da primeira estaca [a que está mais perto do pinheiro]. Observe o topo do pinheiro ao nível do chão e descobre que o topo do pinheiro coincide  o topo da estaca.; observe de novo a base do pinheiro e descobre que a base está a 2 chi e 8 cun do topo da estaca. De novo, recue 8bu 5 chi da estaca da frente. Observe o topo do pinheiro ao nível do chão e também descobre que coincide com o topo da estaca. Diz: qual é a altura do pinheiro e a distância entre a montanha e a estaca da frente

Solução: A altura do pinheiro é 12 zhang, 2 chi e 8 cun. A montanha está a 1 li e 28+4/7 bu da primeira estaca. 

(Citados por Shen Kangshen et al.)

Problema 3 Agora, olhando para o sul numa praça de uma cidade de tamanho desconhecido, ergue duas estacas afastadas, na direção leste-oeste, de 6 zhang unidas por uma corda, ao nível dos olhos. Faça com que a estaca oriental esteja alinhada com os cantos Sudeste e Nordeste da cidade. Mova-se 5 bu da estaca do norte observe o canto noroeste da cidade, a linha de observação intercepta a corda em um ponto 2 zhang 2 chi 6 1/2 cun da sua extremidade oriental. Mais uma vez, mova-se para trás no sentido do norte 13 bu 2 chi e observe o canto noroeste da cidade, a estaca coincide com a estaca ocidental. Qual é o (comprimento do lado] da cidade quadrada, e quão longe está a cidade da estaca? Solução:  A medida do lado da cidade quadrada é 3 li 43 3/4 bu.

Problema 4
Agora  com a finalidade de olhar o fundo de uma  ravina, coloca um esquadro de um carpinteiro de altura 6 chi no extremo da ravina. Observa o fundo da ravinada ponta do esquadro de carpinteiro, a linha de observação interseta a base em um ponto a 9 chi e 1 cun do canto do esquadro. Coloca outro esquadro de carpinteiro semelhante ao primeiro: a distância entre as bases dos [dois] esquadrados é de 3 chang. Observa do fundo da ravina a partir da ponta do esquadrado mais alto, a linha de observação interseta a base a um ponto 8 qui 5 cun [a partir do canto do esquadrado]. Quão profundo é a ravina? 

Solução: 41 chang 9 chi.

(Citados por Swetz, 1992)

Problema 5
Agora mede um edifício a nível do chão de uma montanha. Coloca um gnómon na montanha, cujo gou [cateto menor] tem de altura 6 chi; avista do topo do gou para baixo, para a base do edifício. A linha de visão corta o gu [cateto maior]  inferior a uma altura de 1 zhang e 2 chi. Coloca outro gnómon [do mesmo tamanho] 3 zhang acima [do primeiro]. A linha de visão do topo do goupara a base do edifício corta o gu superior a uma altura de 1 zhang, 1 chi  e 4 cun. Depois, coloca uma estaca no ponto de convergência do gu. A linha de visão do topo do gou para o topo do edifício corta a estaca pequena a uma altura de 8 cun. Diz: Qual é a altura do edifício. 

Solução: 8 zhang.

(Citados por Shen Kangshen et al.)

Problema 7 Agora mede um lago límpido com uma pedra branca no fundo. Numa margem coloca um gnómon, cujogou [cateto menor] tem 3 chi de altura; avista do topo do gou para a margem oposta. A linha de visão para a pedra corta o gu [cateto maior]  inferior a uma comprimento de 2 chi e 4 cun. Depois, coloca outro gnómon 4 chi acima do primeiro. Avista outra vez para baixo do topo do gou  para a outra margem, e a linha de visão corta o gu superior a um comprimento de 4 chi. A linha de visão para a pedra corta o gu superior em 2 chi  e 2 cun. Diz: Qual é a profundidade do lago? Solução: 1 zhang e 2 chi .

(Citado por Dauben)

 Página criada em 2002                           Última actualização 29-12-2013