Área do círculo

Uma forma de mostrar que a área de um círculo é π × r² é  "desenrolar" uma espiral de fio de modo a formar um triângulo.

O primeiro passo consiste em enrolar um fio em espiral unir a espiral com fita cola a partir do centro até à borda.

Depois, cortar o fio junto à fita cola.

Agora desenrolar o fio de modo a formar um triângulo.

A base do triângulo é feita pelo pedaço de fio que usou para a fronteira do círculo. Portanto, o comprimento da base do triângulo  é a circunferência do círculo (2 × π × r). A altura do triângulo é o raio do círculo (r). Se substituir estas duas expressões na fórmula da área de um triângulo, vai acabar por obter a fórmula para a área de um círculo.

Traduzido e adaptado de: http://www.amazingmathprojects.com

Dados e Homens- Probabilidades

Este vídeo tem a duração de 9:48 minutos.
É uma banda desenhada canadiana, com legendas em português, e que de uma forma muito interessante explica a área de estudo das Probabilidades.

Lei dos grandes Números

Isto é Matemática T03E09 Hoje Lavas Tu a Louça

Neste episódio o matemático Rogério Martins explica o que é a lei dos Grandes Números. Para isso visita dois amigos que partilham um quarto numa residência universitária e que dividem as tarefas domésticas através do método de moeda ao ar. E Isto é Matemática.

Lei dos grandes números - Experiências

Frequência relativa como aproximação de probabilidade - ideias de experiências em que os acontecimentos não são equiprováveis

- Lançar um pionés (Dois acontecimentos: bico para cima e bico para baixo)
Qual é a probabilidade de ao lançar um  pionés este ficar com o bico para cima? 
Depende da forma do pionés

(frequência relativa de ficar com o bico para cima - 160 lançamentos)

- Lançar um copo de papel (Três acontecimentos: para cima, para baixo, de lado)
Qual é a probabilidade de ao lançar um  copo este ficar de lado? 
Depende da forma do copo (cerca de 90%)

Maria e as maçãs

Eis uma versão do problema retirado de um aritmética portuguesa datada de 1555,Tratado da Arte da Aritmética, de Bento Fernandes. 

O pomar de maçãs com três guardas Um gentil-homem anda de amores com uma dama e não pode haver dela seu desejo. E a dama lhe pede 9 maçãs do jardim del-Rei e que aceitará o seu serviço. E o gentil homem se foi ao jardim e achou nele 3 portas e em cada porta está um porteiro e o primeiro porteiro lhe disse que entrasse, porém, que lhe havia de dar a metade de todas as maçãs que trouxesse e mais 2 maçãs. O segundo porteiro lhe disse que entrasse e que lhe havia de dar a metade das maçãs que trouxesse e mais 3 maçãs. O terceiro porteiro lhe disse também que entrasse e que lhe havia de dar a metade das maçãs que trouxesse menos 4 maçãs. Pergunto: quantas maçãs há-de trazer este gentil-homem do jardim para que lhe fiquem as ditas 9 maçãs, nem mais nem menos, dando a cada porteiro segundo o que cada um lhe pediu? (Bento Fernandes, fol 103 e 103 v)

Outras versões do problema

Uma outra versão do problema, muito comum na Idade Medieval e nas aritméticas  europeias dos séculos XV e XVI é a de um mercador que vai de feira em feira, percorrendo três feiras onde, de cada vez, duplica o seu dinheiro e gasta parte do seu dinheiro. Eis uma das duas versões, com este contexto, do livro do português Gaspar Nicolas (1519): 

A viagem do mercador Um homem foi de Lisboa a Belém e levava dinheiro, não sabemos quanto, e na venda de Santos dobrou o dinheiro que levava e gastou 10 e ficou-lhe ainda dinheiro e em Alcântara dobrou o dinheiro que levava  e gastou 10 e ficou-lhe ainda dinheiro, e em Belém dobrou o dinheiro que levava e gastou 12 e ficaram-lhe 3 reais. Ora eu pergunto: quanto dinheiro levava este homem? (Gaspar Nicolas, fol 30)

Neste mesmo livro encontra-se ainda outra versão do problema, com um contexto diferente do anterior:

Digo que um homem entrou numa Igreja e não sabemos quanto dinheiro levava. Disse ao primeiro santo que lhe dobrasse o dinheiro que levava e lhe daria 12 reais e o santo lho dobrou. Deu-lhe 12 reais e ficou-lhe ainda dinheiro. E foi-se ao outro santo que lhe dobrasse o dinheiro com que ficou e que lhe daria 12 reais. O santo lho dobrou e o homem deu-lhe 12 reais e ficou-lhe ainda dinheiro. E foi-se ao outro santo que lhe dobrasse o dinheiro com que ficou e que lhe daria 12 reais. O santo lho dobrou e o homem deu-lhe 12 reais e não lhe ficou nada. Ora eu pergunto: quanto dinheiro levava este homem? (Gaspar Nicolas, fol 29)

A primeira versão do problema

A primeira versão deste problema parece ter aparecido na China e relaciona-se com tributos alfandegários. Dois problemas sobre tributos alfandegários pagos na passagens por 3 alfândegas e por 5 alfândegas aparecem  no capítulo VI do livro Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C. 

Problema 27Um homem carrega arroz numa viagem. Passa por três alfândegas. Na primeira dá 1/3 do seu arroz, na segunda 1/5 do que sobrou, e na terceira, 1/7 do que sobrou. Depois de passar pelas três alfândegas, sobraram-lhe 5 dou de arroz. Que quantidade de arroz é que ele tinha ao início?  
Solução:10 dou 9+3/8 sheng 

(citado por Victor Katz)

Problema 28Uma pessoa transporta ouro por cinco alfândegas. Na primeira alfândega paga um imposto de uma parte em 2. Na segunda alfândega, uma parte em 3; na terceira, uma parte em 4; na quarta, uma parte em 5; e na quinta, uma parte em 6. Suponha que a taxa total destas cinco alfândegas é apenas 1 jin. Diz: que quantidade de ouro carregava inicialmente?
Solução:1 jin 3 liang 4+4/5 zhu 

Nota: 1 jin = 16 liang, 1 liang = 24 zhu 

O problema nas diferentes civilizações

  Grécia 

O papiro de Akhmin (cerca do século VI-XI), contém uma versão deste problema sobre um tesouro.

  Índia 

O matemático hindu Mahavari, do século IX, no seu tratado Ganita-Sâra-Sangraha, apresenta também uma versão deste problema. 

De uma colecção de mangas, o rei tirou 1/6, a rainha 1/5 do restante, e as três princesas principais ¼, 1/3 e ½ do resto sucessivo, e a criança mais pequena tirou as 3 mangas que sobravam. Ó tu que és inteligente em problema com fracções, indica a medida da colecção de mangas.  

Mais tarde, no século XII, Bhaskara II, no seu livro Lilavati, apresenta uma versão semelhante com um viajante numa peregrinação (verso 58). 

   Arménia
O matemático arménio, Anania de Shirak (século VII), apresenta o seguinte problema, onde um mercador passa por 3 cidades:

Um mercador passa por três cidades. Na primeira cidade paga metade e um terço dos seus bens de taxa. Na segunda cidade paga metade e um terço do que sobra dos seus bens. Na terceira cidade paga, de novo, metade e um terço dos seus bens. Por fim sobram-lhe 11 moedas. Quanto são os seus bens originais.                 (citado por Shen Kangshen et al.)

   Europa
Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo nos manuais escolares do século XX continham versões destes problema.
Tais como:

• Abraham ben Erza (matemático judeu, que viveu em Espanha, do século XII);
• Fibonacci (matemático italiano do século XII);
• Chuquet (matemático francês, do século XV);
• Juan Pérez de Moya (matemático espanhol, do século XVI);
• Tunstall (matemático inglês, do século XVI);
• Jerónimo Cortés (matemático espanhol do século XVII).

Problema - Probabilidades

Três macacos: o Bartolomeu, o Henrique e o Lourenço encontraram-se para beber chá na sua pastelaria preferida. Ao chegarem tiraram os chapéus. 
Quando saíram, cada um colocou um dos chapéus de forma aleatória.

Qual é a probabilidade de que nenhum deles sair usando o mesmo chapéu com que chegou?

UK Junior Mathematical Olympiad 2010

Problemas Pitagóricos

Num triângulo rectângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

A relação, anterior, entre os lados e de um triângulo rectângulo, normalmente designada por Teorema de Pitágoras, foi correctamente utilizada em problemas com diversos contextos, desde a antiguidade.
Os primeiros problemas que se conhecem onde esta relação é utilizada remontam ao 2.º milénio a.C. e aparecem na civilização Babilónica. 

A escada

O seguinte problema foi retirado de um manuscrito alemão de Peter van Halle, escrito em 1568, mas, salvo as unidades de medida em que está formulado, é muito semelhante a muitos dos problemas, envolvendo o teorema de Pitágoras, que encontramos nos nossos manuais escolares.

Há uma torre com 200 pés de altura, e à volta da torre há um canal com 60 pés de largura. Alguém precisa de fazer uma escada que passe por cima da água até ao topo da torre. A pergunta é: que comprimento deve ter a escada? citado por Marjolein Kool

No Tratado da Prática D'aritmética, do português Gaspar Nicolas, publicado em 1519, aparecem diversos problemas, em que se utiliza o teorema de Pitágoras, envolvendo torres. O seguinte envolve, igualmente, uma escada. No entanto, a escada, ao contrário do que acontece no problema anterior, não está fixa, desliza, o que torna o problema relativamente mais complicado, mas também menos realista.

É uma torre de 20 braças de comprimento, a saber a altura dela é 20 braças. E está uma escada encostada a ela, de tamanho igual à dita torre e a escada afastou-se em baixo 12 braças. Pergunto: quanto abaixou de cima?  fl. 88

Uma versão semelhante deste problema aparece pela primeira vez na tábua babilónica BM 85196 (1650 - 1200 a.C.), com o seguinte texto:

Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 Gar abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita. A que distância da parede está a sua parte de baixo?

É evidente, que tal como no problema enunciado por Gaspar Nicolas, a trave tem o mesmo comprimento que a parede.
Um problema do mesmo tipo aparece noutra tábua babilónica (BM 34568), mais tardia, de cerca do séc. III a.C., mas neste caso o que se pretende saber é a altura da parede e da trave.

Uma cana está encostada a uma parede. Se desce [na parte de cima] 3 GAR a [parte de baixo] desliza 9 GAR. Qual é o comprimento da cana, qual é a altura da parede?

De, aproximadamente, o mesmo período é o primeiro papiro egípcio, que se conhece, onde aparecem vários problemas envolvendo o teorema de Pitágoras, o papiro do Cairo.

Uma vara de 10 cúbitos tem a sua base afastada 6 cúbitos. Determina a sua nova altura e a distância que o cimo da vara baixou.

De novo está implícito que a vara e a parede a que esta está encostada têm exactamente o mesmo comprimento.

O problema chegou igualmente à China, onde aparece no livro Nove Capítulos da Arte Matemática, provavelmente do século II a.C.

A altura de uma parede é 1 zhang. Uma vara de comprimento desconhecido está apoiada na parede, de tal forma que o seu topo coincide com o topo da parede. Se a parte debaixo da vara for afastada da parede mais 1 chi, a vara cairá no chão. Qual é a altura da vara?

Versões semelhantes deste problema aparecem em quase todas as aritméticas medievais e renascentistas, a figura apresentada ao lado, é retirada da aritmética de Philippo Calandri, de 1491.

O bambu quebrado

Na China, o livro Nove Capítulos da Arte Matemática, provavelmente do século II a.C., contém um capítulo que contendo problemas apenas sobre o teorema de Pitágoras. Neste aparece, ao que se sabe, pela primeira vez a seguinte versão:

Há um bambu com 1 zhang de altura, partiu-se e a parte de cima toca o chão a 3 chih da base do bambu. Qual é a altura da quebra?
Nota: 1 zhang = 10 chih	imagem do livro de Yang Hiu de 1261

Este problema parece ter passado da China para a Índia, aparecendo em oito trabalhos indianos desde Bhaskara I (629) a Raghumath-raja (1597). A seguinte é a versão que aparece em Bhaskara II (cerca de,1150):

Se um bambu medindo 32 cúbitos e estando em pé, se partisse, num local, por acção do vento, e a sua extremidade encontrasse o chão a 16 cúbitos da base do bambu. Diz, matemático, a quantos cúbitos da raiz é que ele se partiu?

Ao entrar na Europa esta versão parece ter deixado o bambu, planta tipicamente chinesa, para passar a figurar com uma árvore. A seguinte versão aparece No Tratado da Prática D'aritmética, do português Gaspar Nicolas, publicado em 1519:

É uma árvore de 50 braças e está ao pé de um rio de 30 braças de largura e esta árvore quebrou por tal altura que foi a ponta além da borda do rio. Demando: por onde quebrou?
fl. 86	Philippo Calandri,  1491

A imagem é retirada da aritmética de Philippo Calandri de 1491, onde o problema aparece exactamente igual, inclusive com as mesma distâncias.

A flor de lótus

Num certo lago, repleto de gansos rosados e de grous, podia-se ver, o topo de um rebento de lótus  um span* acima da superfície da água.  Forçado pelo vento, avançou gradualmente e foi submerso pela água a uma distância de dois cúbitos. Calcula, depressa, matemático, a profundidade da água.  * span = ½ cúbito.

Nos Nove Capítulos da Arte Matemática o problema aparece da seguinte forma:

Dada uma cana no centro de um pequeno lago quadrado de 1 zhang de lado, a qual está 1 chi acima da água. Quando é puxada para a margem, a sua parte de cima fica rente à tona da água. Diz: qual é a profundidade de água e o comprimento da cana. Nota: chih = 10 cun , 1 zhang = 10 chih

Outros problemas

Os chineses inventaram numerosos problemas onde é aplicado o teorema de Pitágoras, alguns bastante bastante imaginativos, como é o caso do seguinte:

Uma árvore de 2 zhang de altura tem perímetro de 3 chi. Existe uma videira que se enrola sete vezes à volta da árvore e chega ao topo da árvore. Qual é o comprimento da videira?
A imagem é retirada do manuscrito de Paolo Dagomari, de 1339

Encontra muitos outros exemplos de origem chinesa no nono capítulo de Nove Capítulos da Arte Matemática. E as versões hindus de alguns destes problemas, ou mesmo problema originais da Índia no capítulo sobre medida do matemático hindu do século XII, Bhaskara II. Como, por exemplo, o seguinte:

Havia uma palmeira de 100 cúbitos de altura e havia um poço a uma distância de 200 cúbitos da árvore. Estavam dois macacos no cimo da árvore. Um deles desceu da árvore e foi até ao poço. O outro pulou para cima e saltou para o poço seguindo a hipotenusa.  Se os dois percorreram a mesma distância, descobre o comprimento do pulo macaco.

É possível que tenha sido este problema de origem hindu que tenha dado origem ao seguinte problema, muito comum na Idade Média.

As duas torres

No Tratado da Prática D'aritmética, do português Gaspar Nicolas, publicado em 1519, aparece o seguinte problema.

São duas torres uma de 90 braças e outra de 80 e estão arredadas uma da outra, 100 braças. E entre ambas as fontes está uma fonte em tal lugar que duas aves iguais no voar vêm beber àquela fonte, e cada uma das torres tem sua ave em cima, e partem ambas ao mesmo tempo e chegam ambas ao mesmo tempo à fonte. Demando quanto está a fonte arredada de cada torre?

É interessante notar que este problema aparece exactamente igual em Phillipo Calandri (1491), isto não significa que o aritmético português tenha copiado o seu trabalho de Calandri. Na verdade, este baseou-se, segundo ele próprio afirma,  no trabalho de Luca Paciolli. No final da Idade Média e na Renascença, era muito comum os autores copiarem uns dos outros!
Este problema parece ter aparecido pela primeira vez em Liber Abaci (1202) deLeonardo de Pisa. A sua versão é traduzida da seguinte forma:
 

Dois pássaros começam a voar do topo de duas torres a 50 “pés” de distância, uma tem 3 “pés” de altura, a outra “40 pés” de altura, começando ao mesmo tempo e voando à mesma velocidade. Chegam ao centro de uma fonte entre as duas torres ao mesmo tempo. A que distância está a  fonte de cada uma das torres?
	Calandri, 1491