Eram dois homens que iam por um caminho. Um levava 8 canadas de vinho numa cabaça e o outro levava 8 canadas de vinho em duas cabaças, cinco canadas de vinho numa e três na outra. Beberam o vinho da cabaça grande que tem 8 canadas e querem se separar e dividir o vinho das outras duas cabaças, cinco numa e três na outra. Querem que nenhum deles leve mais vinho do que o outro, ou seja que cada um leve 4 canadas e não têm medidas nenhumas.
(Gaspar Nicolas, fol 51 v.)
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Havia 2 vasilhas, uma de 5 “canadas” e uma de 3 “canadas” e uma fonte, posso despejar as vasilhas e enchê-las quando quiser, mas devo obter exactamente 4 “canadas”... Como é que devo fazer?
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Pacioli, no seu manuscrito De viribus quantitatis (c. 1550), parece ter sido o primeiro alterar as capacidades das vasilhas:Outras versões do Problema
 | dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 7 e outra de 5; |
| dividir 10 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 6 e outra de 4; |
| dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 8 e outra de 4. |
| dividir 24 “canadas” em três partes iguais, usando três vasilhas, uma de 5, uma de 11 e outra de 13 “canadas”. |
| dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 9 e outra de 7; |
| dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 11 e outra de 6; |
| dividir 42 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 27 e outra de 12. |
| três recipientes a, b e c, estando c cheio, dividir igualmente o conteúdo de c. |
| Dado um conjunto de recipientes e fixada a sua capacidade, descobrir que capacidades são mensuráveis, e determinar o número máximo e mínimo de passos necessários para medir tal capacidade. |
A raposa e o galgo
Uma raposa vai diante de um galgo 100 braças e, cada vez que a raposa faz 4 braças. o galgo faz 5.
Pergunto, a quantas braças se juntarão ambos?
(Bento Fernandes, fol 100 v)
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Um bom caminhante cobre 100 bu, enquanto que um mau caminhante 60 bu. Suponha que o último vai à frente do primeiro 100 bu e que este o apanha. Diz: em quantos bu irão os dois lado a lado?
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Índia
No manuscrito de Bakhshali de cerca do século III d.C., aparecem diferentes versões deste problema:
Uma pessoa vai a 5 yojanas ao dia. Quando já tinha andado durante sete dias, a segunda pessoa, cuja velocidade é 9 yojanas por dia, parte. Em quantos dias é que a segunda pessoa apanha a primeira?
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No trabalho do matemático Sridhara, do século IX, aparece também este problema. Eis, uma adaptação da sua versão:
Dois viajantes partem ao mesmo tempo para um destino a 100 km de distância. As suas velocidades são, respectivamente, 2 km/h e 8 km/h. O mais veloz dos dois ao voltar encontra o mais lento. Quando é que os dois se encontram?
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Na China, o mesmo tipo de problema volta a aparecer no século V, no Manual Aritmético foi escrito por Zhang Quijian.
Uma estrada circular à volta de uma montanha tem 325 li de comprimento. Três pessoas A, B e C vão ao longo da estrada. A caminha a 150 li por dia, B a 120 li por dia e C a 90 li por dia. Se começarem todas do mesmo ponto, ao fim de quantos dias se voltarão a encontrar?
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O problema aparece a primeira vez na Europa no manuscrito, do século X, de Alcuino de York:
Há um terreno com 150 pés de comprimento. Numa extremidade está um cão, no outro uma lebre. O cão avança para caçar a lebre. Mas enquanto o cão avança nove pés por passo, a lebre anda apenas sete. Diz, aquele que quer, quantos pés o cão faz na perseguição da lebre em fuga até esta ser apanhada?
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Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo os manuais escolares do século XX continham versões destes problema.
Nas situações apresentadas até agora pede-se ao fim de que espaço as duas personagens se encontram, mas noutras variantes é pedido a velocidade de uma das personagens, como nos dois exemplos que se seguem.
Uma lebre corre 100 bu à frente de um cão. O cão persegue a lebre durante 250 bu, mas a lebre ainda está 30 bu à sua frente. Em quantos buo cão apanhará a lebre?
em Nove capítulos da Arte Matemática (séc. I a.C.)
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Um carteiro parte de Madrid para Roma e não se sabe quantas léguas caminha por dia; mas sabe-se que outro carteiro partiu 4 dias depois da mesma vila de Madrid, e foi pelo mesmo caminho, para Roma, o qual caminha 20 léguas por dia. E alcançou o primeiro correio em 6 dias.
Pergunto: quantas léguas caminha o primeiro carteiro, cada dia?
em Arithmetica pratica de Jerónimo Cortés (1604.)
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O seguinte problema é a primeiro vez que esta versão aparece eencontra-se, também, no tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
A parte de Chang’na para Qi levando 5 dias. B parte de Qi para Chang’nalevando 7 dias. Supondo que B parte 2 dias antes de A. Diz: quando é que se encontrarão?
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Os dois exemplos seguintes são retirados de aritméticas portuguesas do século XVI.
Um homem vai de uma cidade para outra em 6 dias e outro vem em contrário e da outra cidade para aquela donde partiu o outro em 8 dias. Ora eu demando, em quantos dias se encontraram estes homens no caminho e a quantas horas, sendo o dia de 15 horas?
(Gaspar Nicolas, fol 55 v)
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É uma árvore que tem de altura 100 braças e em cima da dita árvore está um galo que vem descendo para baixo, e em cada dia desce 3 braças continuamente, e em baixo está uma raposa que vai para cima e cada dia sobe uma braça. Pergunto, em quantos dias se juntaram o galo e a raposa, continuando ambos o seu caminho?
(Bento Fernandes, fol 101 v)
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Se originalmente o problema pode ter tido um cariz real, veja-se como esta versão é em completamente absurda, o que aliás em muito comum na evolução de alguns problemas.
Também neste caso a primeira versão é do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
Um convidado que cavalga a 300 li por dia. O convidado deixa as suas roupas para trás. O dono da casa descobre-as após 1/3 de dia, e saí com as roupas. Assim que alcança o convidado, o dono da casa dá-lhe as suas roupas e regressa a casa em ¾ de dia. Supondo que cavalga sem parar. Diz: quanto é que ele consegue andar num dia?
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Também neste caso as primeiras versão aparecem no capítulo VII do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
Para conhecer alguns exemplos deste tipo de problemas veja a página «Carteiros 2».
A primeira versão deste problema, que encontrei, foi a do chinês Zhang Quijian, do século V, já apresentada acima.
O exemplo seguinte foi retirado da aritmética do matemático espanhol Joan Ventallol, publicada em 1521.
Dois homens correm ao redor de uma cidade redonda e muralhada. Os dois começam a correr ao mesmo tempo e do mesmo lugar. Um demora 4 horas a dar a volta e o outro necessita de 5+1/2 horas. Os dois correm até que o mais rápido alcança o outro.
Em quantas horas o conseguirá? |
| O problema ficou conhecido como o problema dos carteiros, porque nalgumas versões dos autores medievais e renascentistas, as personagens são carteiros que levam mensagens de uma terra para outra. Tal deve-se ao facto de nessa época, como refere Smith, a comunicação comercial ser feita a través de carteiros que viajavam regularmente de uma cidade para a outra. |  |
Köbel, 1514
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No primeiro dia de Abril partiram dois carteiros, um de Valência a Sevilha, e o outro de Sevilha a Valência, caminho de 84 léguas. O que parte de Valência caminha cada dia 10 léguas e o que parte de Sevilha caminha por dia 14 léguas.
Pergunto: em quantos dias se encontrarão, caminhando os dois por um caminho? |
O mais comum são os problemas em que um cão persegue uma raposa ou uma lebre, que aparecem pela primeira do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C. Outros exemplos, além daqueles que já foram aqui referidos são:
A raposa está a uma distância de 40 dos seus passos do cão, 5 passos do cão correspondem a 3 da raposa.
Noutro exemplo, o cão e uma lebre estão a uma distância de 100 pés, enquanto o cão anda 10 pés a lebre anda 7.
- No manuscrito de Muscarello de 1478:
A lebre e o cão estão a uma distância de 70 pés. O passo do cão é 7/5 do passo da lebre.
A lebre tem um avanço em relação ao cão de 3000 passos, 5 passos da lebre correspondem a 8 passos do cão.
A lebre tem um avanço em relação ao cão de 60 passos, e cada vez que a lebre faz 5 passos o cão faz 7.
Problema 20 (Nove capítulos da Arte Matemática)Aparecem problemas com outros animais, tais como, aves, formigas, ratazanas, ...
Problema 10 (Nove capítulos da Arte Matemática)Há um muro de 9 chi de altura. É plantada uma planta em cima, o caule cresce-se para baixo 7 cun por dia. É plantada uma planta em baixo o caule cresce-se para cima 1 chi por dia. Diz: o número de dias em que se encontram e quanto é que cada uma das plantas cresce?
Problema 13 (Nove capítulos da Arte Matemática)
O primeiro problema, que se segue, é retirado de uma aritmética de 1485, publicada em Florença e atribuída a Calandri, o segundo é retirado da Aritmética do espanhol Joan Ventallol de 1521.
Uma nau vai de Marselha para Liverno em 7 dias uma outra de Liverno para Marselha em 4 dias. Após quantos dias em que se cruzam?
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Uma nau sai de Nápoles para Barcelona e faz a sua viagem em 30 dias. Outra sai de Barcelona para Nápoles e faz a viagem em 20 dias. Saem as duas ao mesmo tempo.
Pergunto: em quanto tempo de devem encontrar? |
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O pomar de maçãs com três guardas
Um gentil-homem anda de amores com uma dama e não pode haver dela seu desejo. E a dama lhe pede 9 maçãs do jardim del-Rei e que aceitará o seu serviço. E o gentil homem se foi ao jardim e achou nele 3 portas e em cada porta está um porteiro e o primeiro porteiro lhe disse que entrasse, porém, que lhe havia de dar a metade de todas as maçãs que trouxesse e mais 2 maçãs. O segundo porteiro lhe disse que entrasse e que lhe havia de dar a metade das maçãs que trouxesse e mais 3 maçãs. O terceiro porteiro lhe disse também que entrasse e que lhe havia de dar a metade das maçãs que trouxesse menos 4 maçãs.
Pergunto: quantas maçãs há-de trazer este gentil-homem do jardim para que lhe fiquem as ditas 9 maçãs, nem mais nem menos, dando a cada porteiro segundo o que cada um lhe pediu?
(Bento Fernandes, fol 103 e 103 v)
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A viagem do mercador
Um homem foi de Lisboa a Belém e levava dinheiro, não sabemos quanto, e na venda de Santos dobrou o dinheiro que levava e gastou 10 e ficou-lhe ainda dinheiro e em Alcântara dobrou o dinheiro que levava e gastou 10 e ficou-lhe ainda dinheiro, e em Belém dobrou o dinheiro que levava e gastou 12 e ficaram-lhe 3 reais.
Ora eu pergunto: quanto dinheiro levava este homem?
(Gaspar Nicolas, fol 30)
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Digo que um homem entrou numa Igreja e não sabemos quanto dinheiro levava. Disse ao primeiro santo que lhe dobrasse o dinheiro que levava e lhe daria 12 reais e o santo lho dobrou. Deu-lhe 12 reais e ficou-lhe ainda dinheiro. E foi-se ao outro santo que lhe dobrasse o dinheiro com que ficou e que lhe daria 12 reais. O santo lho dobrou e o homem deu-lhe 12 reais e ficou-lhe ainda dinheiro. E foi-se ao outro santo que lhe dobrasse o dinheiro com que ficou e que lhe daria 12 reais. O santo lho dobrou e o homem deu-lhe 12 reais e não lhe ficou nada.
Ora eu pergunto: quanto dinheiro levava este homem?
(Gaspar Nicolas, fol 29)
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O papiro de Akhmin (cerca do século VI-XI), contém uma versão deste problema sobre um tesouro.
O matemático hindu Mahavari, do século IX, no seu tratado Ganita-Sâra-Sangraha, apresenta também uma versão deste problema.
De uma colecção de mangas, o rei tirou 1/6, a rainha 1/5 do restante, e as três princesas principais ¼, 1/3 e ½ do resto sucessivo, e a criança mais pequena tirou as 3 mangas que sobravam. Ó tu que és inteligente em problema com fracções, indica a medida da colecção de mangas.
Mais tarde, no século XII, Bhaskara II, no seu livro Lilavati, apresenta uma versão semelhante com um viajante numa peregrinação (verso 58).
O matemático arménio, Anania de Shirak (século VII), apresenta o seguinte problema, onde um mercador passa por 3 cidades:
Um mercador passa por três cidades. Na primeira cidade paga metade e um terço dos seus bens de taxa. Na segunda cidade paga metade e um terço do que sobra dos seus bens. Na terceira cidade paga, de novo, metade e um terço dos seus bens. Por fim sobram-lhe 11 moedas. Quanto são os seus bens originais.
(citado por Shen Kangshen et al.)
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Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo nos manuais escolares do século XX continham versões destes problema.
Tais como:
Num triângulo rectângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
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Há uma torre com 200 pés de altura, e à volta da torre há um canal com 60 pés de largura. Alguém precisa de fazer uma escada que passe por cima da água até ao topo da torre.
A pergunta é: que comprimento deve ter a escada?
citado por Marjolein Kool
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É uma torre de 20 braças de comprimento, a saber a altura dela é 20 braças. E está uma escada encostada a ela, de tamanho igual à dita torre e a escada afastou-se em baixo 12 braças.
Pergunto: quanto abaixou de cima?
fl. 88
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Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 Gar abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita
A que distância da parede está a sua parte de baixo? |
Uma cana está encostada a uma parede. Se desce [na parte de cima] 3 GAR a [parte de baixo] desliza 9 GAR. Qual é o comprimento da cana, qual é a altura da parede?
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Uma vara de 10 cúbitos tem a sua base afastada 6 cúbitos. Determina a sua nova altura e a distância que o cimo da vara baixou.
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A altura de uma parede é 1 zhang. Uma vara de comprimento desconhecido está apoiada na parede, de tal forma que o seu topo coincide com o topo da parede. Se a parte debaixo da vara for afastada da parede mais 1 chi, a vara cairá no chão. Qual é a altura da vara?
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Versões semelhantes deste problema aparecem em quase todas as aritméticas medievais e renascentistas, a figura apresentada ao lado, é retirada da aritmética de Philippo Calandri, de 1491. |  |
Há um bambu com 1 zhang de altura, partiu-se e a parte de cima toca o chão a 3 chih da base do bambu. Qual é a altura da quebra? |  |
| Nota: 1 zhang = 10 chih | imagem do livro de Yang Hiu de 1261 |
Se um bambu medindo 32 cúbitos e estando em pé, se partisse, num local, por acção do vento, e a sua extremidade encontrasse o chão a 16 cúbitos da base do bambu. Diz, matemático, a quantos cúbitos da raiz é que ele se partiu?
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É uma árvore de 50 braças e está ao pé de um rio de 30 braças de largura e esta árvore quebrou por tal altura que foi a ponta além da borda do rio.
Demando: por onde quebrou? |  |
fl. 86
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Philippo Calandri, 1491
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Num certo lago, repleto de gansos rosados e de grous, podia-se ver, o topo de um rebento de lótus um span* acima da superfície da água. Forçado pelo vento, avançou gradualmente e foi submerso pela água a uma distância de dois cúbitos.
Calcula, depressa, matemático, a profundidade da água. * span = ½ cúbito. |
Dada uma cana no centro de um pequeno lago quadrado de 1 zhang de lado, a qual está 1 chi acima da água. Quando é puxada para a margem, a sua parte de cima fica rente à tona da água.
Diz: qual é a profundidade de água e o comprimento da cana. Nota: chih = 10 cun |
Uma árvore de 2 zhang de altura tem perímetro de 3 chi. Existe uma videira que se enrola sete vezes à volta da árvore e chega ao topo da árvore. Qual é o comprimento da videira?
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A imagem é retirada do manuscrito de Paolo Dagomari, de 1339
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Havia uma palmeira de 100 cúbitos de altura e havia um poço a uma distância de 200 cúbitos da árvore. Estavam dois macacos no cimo da árvore. Um deles desceu da árvore e foi até ao poço. O outro pulou para cima e saltou para o poço seguindo a hipotenusa. Se os dois percorreram a mesma distância, descobre o comprimento do pulo macaco.
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São duas torres uma de 90 braças e outra de 80 e estão arredadas uma da outra, 100 braças. E entre ambas as fontes está uma fonte em tal lugar que duas aves iguais no voar vêm beber àquela fonte, e cada uma das torres tem sua ave em cima, e partem ambas ao mesmo tempo e chegam ambas ao mesmo tempo à fonte.
Demando quanto está a fonte arredada de cada torre? |
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Calandri, 1491
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