Eram dois homens que iam por um caminho. Um levava 8 canadas de vinho numa cabaça e o outro levava 8 canadas de vinho em duas cabaças, cinco canadas de vinho numa e três na outra. Beberam o vinho da cabaça grande que tem 8 canadas e querem se separar e dividir o vinho das outras duas cabaças, cinco numa e três na outra. Querem que nenhum deles leve mais vinho do que o outro, ou seja que cada um leve 4 canadas e não têm medidas nenhumas.
(Gaspar Nicolas, fol 51 v.)
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Havia 2 vasilhas, uma de 5 “canadas” e uma de 3 “canadas” e uma fonte, posso despejar as vasilhas e enchê-las quando quiser, mas devo obter exactamente 4 “canadas”... Como é que devo fazer?
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Pacioli, no seu manuscrito De viribus quantitatis (c. 1550), parece ter sido o primeiro alterar as capacidades das vasilhas:Outras versões do Problema
 | dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 7 e outra de 5; |
| dividir 10 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 6 e outra de 4; |
| dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 8 e outra de 4. |
| dividir 24 “canadas” em três partes iguais, usando três vasilhas, uma de 5, uma de 11 e outra de 13 “canadas”. |
| dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 9 e outra de 7; |
| dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 11 e outra de 6; |
| dividir 42 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 27 e outra de 12. |
| três recipientes a, b e c, estando c cheio, dividir igualmente o conteúdo de c. |
| Dado um conjunto de recipientes e fixada a sua capacidade, descobrir que capacidades são mensuráveis, e determinar o número máximo e mínimo de passos necessários para medir tal capacidade. |
A raposa e o galgo
Uma raposa vai diante de um galgo 100 braças e, cada vez que a raposa faz 4 braças. o galgo faz 5.
Pergunto, a quantas braças se juntarão ambos?
(Bento Fernandes, fol 100 v)
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Um bom caminhante cobre 100 bu, enquanto que um mau caminhante 60 bu. Suponha que o último vai à frente do primeiro 100 bu e que este o apanha. Diz: em quantos bu irão os dois lado a lado?
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Índia
No manuscrito de Bakhshali de cerca do século III d.C., aparecem diferentes versões deste problema:
Uma pessoa vai a 5 yojanas ao dia. Quando já tinha andado durante sete dias, a segunda pessoa, cuja velocidade é 9 yojanas por dia, parte. Em quantos dias é que a segunda pessoa apanha a primeira?
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No trabalho do matemático Sridhara, do século IX, aparece também este problema. Eis, uma adaptação da sua versão:
Dois viajantes partem ao mesmo tempo para um destino a 100 km de distância. As suas velocidades são, respectivamente, 2 km/h e 8 km/h. O mais veloz dos dois ao voltar encontra o mais lento. Quando é que os dois se encontram?
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Na China, o mesmo tipo de problema volta a aparecer no século V, no Manual Aritmético foi escrito por Zhang Quijian.
Uma estrada circular à volta de uma montanha tem 325 li de comprimento. Três pessoas A, B e C vão ao longo da estrada. A caminha a 150 li por dia, B a 120 li por dia e C a 90 li por dia. Se começarem todas do mesmo ponto, ao fim de quantos dias se voltarão a encontrar?
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O problema aparece a primeira vez na Europa no manuscrito, do século X, de Alcuino de York:
Há um terreno com 150 pés de comprimento. Numa extremidade está um cão, no outro uma lebre. O cão avança para caçar a lebre. Mas enquanto o cão avança nove pés por passo, a lebre anda apenas sete. Diz, aquele que quer, quantos pés o cão faz na perseguição da lebre em fuga até esta ser apanhada?
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Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo os manuais escolares do século XX continham versões destes problema.
Nas situações apresentadas até agora pede-se ao fim de que espaço as duas personagens se encontram, mas noutras variantes é pedido a velocidade de uma das personagens, como nos dois exemplos que se seguem.
Uma lebre corre 100 bu à frente de um cão. O cão persegue a lebre durante 250 bu, mas a lebre ainda está 30 bu à sua frente. Em quantos buo cão apanhará a lebre?
em Nove capítulos da Arte Matemática (séc. I a.C.)
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Um carteiro parte de Madrid para Roma e não se sabe quantas léguas caminha por dia; mas sabe-se que outro carteiro partiu 4 dias depois da mesma vila de Madrid, e foi pelo mesmo caminho, para Roma, o qual caminha 20 léguas por dia. E alcançou o primeiro correio em 6 dias.
Pergunto: quantas léguas caminha o primeiro carteiro, cada dia?
em Arithmetica pratica de Jerónimo Cortés (1604.)
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O seguinte problema é a primeiro vez que esta versão aparece eencontra-se, também, no tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
A parte de Chang’na para Qi levando 5 dias. B parte de Qi para Chang’nalevando 7 dias. Supondo que B parte 2 dias antes de A. Diz: quando é que se encontrarão?
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Os dois exemplos seguintes são retirados de aritméticas portuguesas do século XVI.
Um homem vai de uma cidade para outra em 6 dias e outro vem em contrário e da outra cidade para aquela donde partiu o outro em 8 dias. Ora eu demando, em quantos dias se encontraram estes homens no caminho e a quantas horas, sendo o dia de 15 horas?
(Gaspar Nicolas, fol 55 v)
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É uma árvore que tem de altura 100 braças e em cima da dita árvore está um galo que vem descendo para baixo, e em cada dia desce 3 braças continuamente, e em baixo está uma raposa que vai para cima e cada dia sobe uma braça. Pergunto, em quantos dias se juntaram o galo e a raposa, continuando ambos o seu caminho?
(Bento Fernandes, fol 101 v)
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Se originalmente o problema pode ter tido um cariz real, veja-se como esta versão é em completamente absurda, o que aliás em muito comum na evolução de alguns problemas.
Também neste caso a primeira versão é do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
Um convidado que cavalga a 300 li por dia. O convidado deixa as suas roupas para trás. O dono da casa descobre-as após 1/3 de dia, e saí com as roupas. Assim que alcança o convidado, o dono da casa dá-lhe as suas roupas e regressa a casa em ¾ de dia. Supondo que cavalga sem parar. Diz: quanto é que ele consegue andar num dia?
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Também neste caso as primeiras versão aparecem no capítulo VII do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
Para conhecer alguns exemplos deste tipo de problemas veja a página «Carteiros 2».
A primeira versão deste problema, que encontrei, foi a do chinês Zhang Quijian, do século V, já apresentada acima.
O exemplo seguinte foi retirado da aritmética do matemático espanhol Joan Ventallol, publicada em 1521.
Dois homens correm ao redor de uma cidade redonda e muralhada. Os dois começam a correr ao mesmo tempo e do mesmo lugar. Um demora 4 horas a dar a volta e o outro necessita de 5+1/2 horas. Os dois correm até que o mais rápido alcança o outro.
Em quantas horas o conseguirá? |
| O problema ficou conhecido como o problema dos carteiros, porque nalgumas versões dos autores medievais e renascentistas, as personagens são carteiros que levam mensagens de uma terra para outra. Tal deve-se ao facto de nessa época, como refere Smith, a comunicação comercial ser feita a través de carteiros que viajavam regularmente de uma cidade para a outra. |  |
Köbel, 1514
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No primeiro dia de Abril partiram dois carteiros, um de Valência a Sevilha, e o outro de Sevilha a Valência, caminho de 84 léguas. O que parte de Valência caminha cada dia 10 léguas e o que parte de Sevilha caminha por dia 14 léguas.
Pergunto: em quantos dias se encontrarão, caminhando os dois por um caminho? |
O mais comum são os problemas em que um cão persegue uma raposa ou uma lebre, que aparecem pela primeira do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C. Outros exemplos, além daqueles que já foram aqui referidos são:
A raposa está a uma distância de 40 dos seus passos do cão, 5 passos do cão correspondem a 3 da raposa.
Noutro exemplo, o cão e uma lebre estão a uma distância de 100 pés, enquanto o cão anda 10 pés a lebre anda 7.
- No manuscrito de Muscarello de 1478:
A lebre e o cão estão a uma distância de 70 pés. O passo do cão é 7/5 do passo da lebre.
A lebre tem um avanço em relação ao cão de 3000 passos, 5 passos da lebre correspondem a 8 passos do cão.
A lebre tem um avanço em relação ao cão de 60 passos, e cada vez que a lebre faz 5 passos o cão faz 7.
Problema 20 (Nove capítulos da Arte Matemática)Aparecem problemas com outros animais, tais como, aves, formigas, ratazanas, ...
Problema 10 (Nove capítulos da Arte Matemática)Há um muro de 9 chi de altura. É plantada uma planta em cima, o caule cresce-se para baixo 7 cun por dia. É plantada uma planta em baixo o caule cresce-se para cima 1 chi por dia. Diz: o número de dias em que se encontram e quanto é que cada uma das plantas cresce?
Problema 13 (Nove capítulos da Arte Matemática)
O primeiro problema, que se segue, é retirado de uma aritmética de 1485, publicada em Florença e atribuída a Calandri, o segundo é retirado da Aritmética do espanhol Joan Ventallol de 1521.
Uma nau vai de Marselha para Liverno em 7 dias uma outra de Liverno para Marselha em 4 dias. Após quantos dias em que se cruzam?
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Uma nau sai de Nápoles para Barcelona e faz a sua viagem em 30 dias. Outra sai de Barcelona para Nápoles e faz a viagem em 20 dias. Saem as duas ao mesmo tempo.
Pergunto: em quanto tempo de devem encontrar? |
