Fibonacci o sonhador de números

Leonardo na corte do imperador Frederico II

O livro infantil é uma biografia, narrada de uma forma atrativa de Leonardo de Pisa, 
Leonardo Pisano ou Leonardo Bigollo (c. 1170-1250 ), também conhecido como Fibonacci.
Situado em Itália, nos tempos medievais, conta-nos que Leonardo Fibonacci foi um menino que sonhava dia e noite com os números. Ele era um sonhador e as pessoas ao seu redor não o entendiam. Quando cresceu, Leonardo viajou e conheceu outras formas de escrever os números, números diferentes da Europa Ocidental de então. Depois compreendeu que muitas coisas da natureza pareciam seguir um certo padrão. O menino, de que todos riam, descobriu aquilo que ficou conhecido como a sequência de Fibonacci.
Hoje em dia Leonardo Fibonacci é conhecido pelo seu problema acerca de multiplicar coelhos e é considerado como uma dos grandes matemáticos de todos os tempos.

Imagens do livro

Fibonacci sentado no topo de uma colina com vista sobre a paisagem Toscana.

Todo o  livro tem objetos de Fibonacci - coelhinhos, pinhas, girassóis, espirais - escondidos nos desenhos.

Um pequeno carneiro ou uma cabra soltou-se e dois agricultores estão a persegui-lo através de um campo o caminho que seguem forma uma espiral. E, claro, o carneiro tem chifres em forma de espiral ...

"Podem-me chamar sonhador, todas as pessoas o fazem."

"Um dia quando ainda era apenas um rapaz, o Mestre escreveu um problema de matemática de deu-nos 10 minutos para resolvê-lo. Eu resolvi-o apenas em dois segundos".

"É assim que eu sou com os números. Adoro-os desde que era muito novo. Na casa dos meus pais, para onde quer que olhasse, havia sempre algo para contar"

"Na aula desse dia, os outros alunos fizeram os trabalhos de matemática no ábaco e escreveram as suas respostas em numerais romanos. Era muito demorado, mas era assim que fazíamos os trabalhos de matemática, nessa altura. Eu esperei que eles acabassem, mas fiquei aborrecido."

"Contei doze aves numa árvore fora da aula. Perguntei-me "Quantas pernas terão todas aquelas aves? Quantos olhos? Quantas asas? E se cada ave cantasse durante dois segundos, uma ave a seguir à outra, quanto tempo demorariam todas a cantar?

Estas questões eram tão maravilhosas que comecei a sonhar acordado."

(Na árvore vê-se uma espiral e a aves então dispostas de acordo com essa espiral.)

"-Eu acho que as pessoas são mais felizes quando eles sabem do que realmente gostam - disse Alfredo.

- E tu, Leonardo, o que é que te faz você feliz?

-Números -respondi eu, sem pensar.

-Então deves aprender tudo o que poderes sobre eles. E assim, serás feliz"

Este é o centro medieval de Pisa, onde Fibonacci viveu em criança. Ele fugiu da escola e corre pelas ruas.

"Ao lado da Catedral, os pedreiros estavam a construir uma nova torre.

Mas parecia que algo estava errado nos cálculos dos construtores!"

Fibonacci embarca com o pai para a África do Norte.

Leonardo viaja pelo Mediterrâneo em busca da matemática.

Na minha nova casa, notei que os mercadores árabes não usavam os números romanos,  os números que eles usaram vinham dos  hindus, o povo da Índia.

No meu país, nós escrevemos: XVIII. Aqui os mercadores escreviam-no: 18.

Vejo que é muito mais fácil? Eu queria muito aprender esses números estranhos ...

"Ultimamente tenho pensado nesses números de maneira diferente. Vejam: Na areia desenho um quadrado pequeno quadrado e outro pequeno quadrado ao seu lado. Depois vem um figura com  2 quadrados de lado 2 . Depois uma com 3  quadrados de lado.Depois uma com 5 quadrados de lado, 8 quadrados e 13 quadrados."

"Eu posso continuar, sempre - disse, mas não fica bem a não ser que os una... assim.Pode adivinhar o que eu desenhei dentro deles? - Uma espiral - disse - Consegue fazer uma espiral com os meus números!"

Fibonacci com uma pinha

  Fibonacci escreve o Liber Abaci --- "O Livro de Cálculo"

 À esquerda é o primeiro mês, há apenas 1 par de coelhos. Em seguida, no segundo mês, 2 pares. E assim sucessivamente ..

Ficha, em espanhol de exploração do livro (PDF)

Leonardo de Pisa - Fibonacci

(1170 -124?)

Não existem imagens de Leonardo de Pisa da sua época, assim tanto as gravuras, como a estátua, situada em  Pisa, são puras recreações.

Leonardo de Pisa nasceu em Pisa na Toscânia, em cerca de 1170. 
Na altura Pisa era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como Génova e Veneza.
Pisa tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do Mediterrâneo. O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da costa de África (Bugia, actualmente Bejaia na Argélia), foi aqui que Leonardo iniciou os seus estudos de matemática com professores islâmicos.Mais tarde viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), encontrando-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais que visitava e adquirindo, assim, o conhecimento matemático do mundo árabe.Talvez devido ao seu "prazer" por viajar Leonardo assinava, por vezes, LeonardoBigollho, que significa em toscano, viajante. Leonardo assinava também fillius Bonacci (fillho de Bonnacio, o seu pai chamava-se, provavelmente, Guilielmo Bonnacci). O nome porque é actualmente mais conhecido, Fibonacci, foi lhe atribuído pelo editor, do século XIX, das suas obras.

	Em 1200 Leonardo regressa a Pisa e passa os 25 anos seguintes a escrever trabalhos onde incorpora os conhecimentos que tinha adquirido com os árabes. O seu livro mais conhecido, um tratado de aritmética e álgebra elementar, Liber Abaci (Livro de cálculo) foi escrito em 1202. Em 1220 escreveu Pratica Geometriae e em 1225, Liber Quadratorume Flos.
Practica geometriae, folha 132v

A importância de Leonardo foi reconhecida na sua cidade natal que, em 1240, lhe concede uma remuneração anual como agradecimento aos serviços prestados à comunidade; assim como, na corte do Imperador Frederico II.
Última actualização 15-12-2002	Remuneração anual atribuída a Leonardo pela cidade de Pisa

Quantos barris há no monte?

De  Jinkoki, c. 1818, Japão

E mais algumas fotos que podem servir para o mesmo problema:

Problema - Delícias turcas

Esta pirâmide é inteiramente construída a partir de delícias turcas. A base da pirâmide é feita por uma camada com a forma de um quadrado de 16 por 16 delícias turcas, num total de 256 delícias  turcas. Por cima desta camada há um segundo quadrado de 15 por 15, um terceiro quadrado de 14 por 14, e assim sucessivamente, até uma única delicia turca no topo da pirâmide. 

• Quantas delícias turcas estão nas três camadas superiores? 
• Quantas delícias turcas foram utilizadas, ao todo, na pirâmide?

Probabilidades - Roletas virtuais

Roleta 5 cores - com gráfico de frequências absolutas incorporado

http://www.mathplayground.com/probability.html

Permite criar a roleta que se pretende (2 a 11 cores diferentes)

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_186_g_1_t_1.html

Roleta ajustável - permite ajustar a percentagem de 5 cores diferentes

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=79

Roleta ajustável - permite ajustar a percentagem de 4 cores diferentes - com tabela de frequências absolutas e relativas incorporada

http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdjustableSpinner/

Medindo com vasilhas

Eram dois homens que iam por um caminho. Um levava 8 canadas de vinho numa cabaça e o outro levava 8 canadas de vinho em duas cabaças, cinco canadas de vinho numa e três na outra. Beberam o vinho da cabaça grande que tem 8 canadas e querem se separar e dividir o vinho das outras duas cabaças, cinco numa e três na outra. Querem que nenhum deles leve mais vinho do que o outro, ou seja que cada um leve 4 canadas e não têm medidas nenhumas. Ora eu pergunto de que maneira devem cambar o vinho de umas cabaças para as outras para que nenhum vá enganado. (Gaspar Nicolas, fol 51 v.)

Esta  versão do problema é retirada da primeira aritmética impressa em Portugal, cuja primeira edição é de 1519. 


Experimente fazer este, e outros problemas, clique na vasilha:

 

Ou fazer o download de um programa que resolve, automaticamente, problemas deste tipo em:

http://www.delphiforfun.org/Programs/Measuring_Cups.htm

A primeira versão escrita

A primeira versão escrita do problema parece ser a do manuscrito de um Abade alemão (Albert von Strade), que data de 1240:

Havia 2 vasilhas, uma de 5 “canadas” e uma de 3 “canadas” e uma fonte, posso despejar as vasilhas e enchê-las quando quiser, mas devo obter exactamente 4 “canadas”... Como é que devo fazer?

No tratado de aritmética de Paolo Damogari (Florença, c. 1339) o mesmo problema reaparece.

  Outras versões do Problema

Pacioli, no seu manuscrito De viribus quantitatis  (c. 1550), parece ter sido o primeiro alterar as capacidades das vasilhas:

	dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 7 e outra de 5;
	dividir 10 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 6 e outra de 4;
	dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 8 e outra de 4.

Tartaglia, no seu General Trattato di numeri e misure (1556), além do problema inicial, introduziu um outro problema com mais uma vasilha:

dividir 24 “canadas” em três partes iguais, usando três vasilhas, uma de 5, uma de 11 e outra de 13 “canadas”.

Bachet de Méziriac, em 1624, no seu livro Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, além do problema inicial, introduziu os seguintes:

	dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 9 e outra de 7;
	dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 11 e outra de 6;
	dividir 42 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 27 e outra de 12.

Uma generalização do problema foi dada por Labosne na sua 5ª edição (1959) do livro de Bachet de Méziriac:

três recipientes a, b e c, estando c cheio, dividir igualmente o conteúdo de c.

Uma formulação mais geral do problema é:

Dado um conjunto de recipientes e fixada a sua capacidade, descobrir que capacidades são mensuráveis, e determinar o número máximo e mínimo de passos necessários para medir tal capacidade.

Última actualização 04-12-2002