Cálculo de áreas

A necessidade de calcular áreas de terrenos levou várias civilizações a desenvolver técnicas para o fazer. Essa necessidade está bem documentada no Egito antigo.

Áreas de retângulos

Áreas de triângulos

Áreas de quadriláteros

No Egito

A medição de terrenos

A necessidade de medir os campos no Egito é relatada por Heródoto, filósofo grego do século V a.C. Segundo Heródoto sempre que o Nilo inundava era necessário determinar a quantidade de terra que os agricultores perdiam, uma vez que deveriam pagar uma taxa, ao rei Sesostris III (cerca de 1872-1853 a. C.), que deveria ser proporcional à taxa imposta antes da inundação das terras.

Quando o Nilo transborda, cobre o Delta e as terras chamadas Líbia e Arábia, numa distância de uma viagem de dois dias desde as duas margens, …, não consegui saber nada da sua natureza, nem dos sacerdotes nem de qualquer outra pessoa. Tinha curiosidade em saber por que é que o rio transborda durante cem dias desde o solstício de Verão, …, e o rio está baixo durante todo o Inverno até transbordar de novo no solstício de Verão. … Por esta razão o Egito foi dividido. Disseram-me que este rei (Sesóstris) repartiu todo o país entre os egípcios, dando a cada um uma porção igual de terra, e fê-lo sua fonte de rendimento, avaliando o pagamento de um tributo anual. E se qualquer homem que fosse roubado pelo Nilo de uma porção de suas terras podia dirigir-se a Sesóstris e expor a ocorrência, então o rei enviaria um homem para verificar e calcular e parte pela qual a terra tinha sido reduzida, de tal forma que a partir dessa altura ele deveria pagar proporcionalmente ao tributo imposto originalmente. Esta foi a forma como, na minha opinião, os Gregos aprenderam a arte de medir a terra; os relógios de sol, os gnomos e as doze divisões do dia, vêm para a Grécia da Babilónia e não do Egito. Heródoto (II, 109)

Embora Heródoto tenha relatado história mais de 1000 anos após Sesóstris ter vivido, parece não haver dúvidas de que os antigos egípcios colectavam taxas, ou pelos menos impostos. Pelo menos, esse parecia ser um dos deveres dos escribas egípcios de acordo com o texto de cerca de 1250 a.C. «A educação de Amenemope». 

A educação de Amenemope, 1250 a. C.

Os escribas tinham como funções registar as fronteiras das terras, os impostos, as terras, e ao medi-las deveriam ser cuidadosos ao utilizar a corda. Esta medição deveria ter como objectivo determinar a área do terreno, tal como relata o seguinte extrato.

Que registas as marcas das fronteiras dos terrenos.
Que fazes, para o rei, a sua listagem de taxas.
Que registas as terras do Egito.
O escriba que determina as oferendas para todos os deuses.
Que dás a escritura das terras ao povo.
O fiscal dos cereais, provedor da comida.
Que forneces os celeiros, de cereais…
Não movas as marcas das fronteiras dos terrenos.
Nem movas a posição da corda de medir.
Não sejas mesquinho no cúbito de terra.
Nem invadas as fronteiras da janela.

The Instruction of Amenemope, New Kingdom
M. Lichtheim, Ancient Egyptian Literature, Volume II,  pp. 448

Escriba inspeccionando a pedra de fronteira dos terrenos, túmulo do escriba Nebamun (1400 a 1390 a.C.)

As cordas de nós

Para medir os terrenos os escribas utilizavam uma corda com nós. Há várias representações de harpedonaptae, esticadores de cordas, tal como, Demócrito¹ (cerca de 410 a.C.) os denominava, em túmulos egípcios. Por exemplo, no túmulo de Menna, escriba que terá vivido, provavelmente no século XIV a.C., encontra-se uma pintura dos esticadores de cordas, uma outra pintura com esticadores de cordas encontra-se no túmulo do escriba Djeserkareseneb, também da mesma época.

Esticadores de cordas, túmulo de Menna (século XIV a. C.)

Esticadores de cordas, túmulo de Djeserkareseneb (1405 a 1395 a. C.)

Os nós poderiam servir como subdivisões, e as cordas mediam, provavelmente, um cúbito real².

Das cordas às áreas de terrenos

Há evidências de que os egípcios sabiam calcular, pelo menos aproximadamente, a área das terras. Nos papiros egípcios, mais antigos, com conteúdos matemáticos, o papiro de Rhind , de Moscovo, e de Kahun, do 2.º milénio a.C., contém problemas referentes a áreas de terrenos, envolvendo triângulos, retângulos e outros quadriláteros.

Os egípcios utilizam métodos aproximados de cálculo das áreas dos terrenos, provavelmente, porque seria extraordinariamente difícil determinar com precisão a sua área, o que envolveria nalguns casos ter de dividir  terreno em retângulos e triângulos o que não seria praticável. Alguns autores são da opinião de que os egípcios conheciam a regra para o cálculo da área de triângulos, mas que a dificuldade de, no terreno, determinarem a sua altura relativamente a uma base levava-os a utilizarem, apenas, uma estratégia aproximada para o seu cálculo.

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Notas
1 Demócrito, citado por Clement de Alexandria (c. 215), terá afirmado: “Na construção de linhas, com demonstrações, ainda ninguém me surpreendeu, nem mesmo os Harpedonatae do Egipto”
² Provavelmente as cordas tinham 100 cúbitos de comprimento. O cúbito variava entre 52,3 to 52,9 cm.

Página criada em 2007

Corda dos 13 nós

Consta que os antigos egípcios construíam triângulos retângulos utilizando uma corda dividida, através de nós, em 12 espaços iguais.   

 

Com uma corda atada como esta, que outros triângulos se conseguem construir? (Cada vértice do triângulo deve coincidir com um nó.) 

Que outros polígonos regulares se conseguem construir - ou seja, polígonos com lados iguais e ângulos iguais?

traduzido e adaptado de 

História da Matemática no Egito

Registo no túmulo do Rei Namer, fundador da 1.ª dinastia, provavelmente do resultado de um conquista. As gravações registam um saque de 400 000 bois, 1 422 000 cabras e de 120 000 escravos.
Por volta do ano 3000 a.C. o Egito transformou-se numa nação única. Foi o desenvolvimento da agricultura, que decorreu nesse período, que levou, por sua vez, à necessidade de se saber a altura da estação das enchentes do Nilo, e consequentemente à elaboração de um calendário. O estudo da astronomia deu resposta a esta necessidade. Por outro lado, a administração do território, fez surgir a necessidade de registar e de calcular para se proceder, por exemplo, à cobrança de taxas. São também deste período os primeiros pirâmides, os cemitérios com diversos túmulos que nos dão uma ideia, consoante a sua dimensão, da estratificação social do antigo Egito; desde as pirâmides de grandes dimensões, com vários quartos, a túmulos mais pequenos com apenas um "quarto". É nos túmulos que aparecem as primeiras evidências de registos numéricos e da escrita, como forma de registar os bens dos mortos e o seu poder! Início da escrita e da representação numérica A mais antiga evidência da escrita egípcia, é ainda anterior à unificação do Egito, aparece em pequenas placas encontradas no túmulo de Uj, datado de 3300 a.C.   Os achados de túmulo Uj incluem pequenas marcas inscritas com representações de números (na sua maioria grupos de traços verticais) e sinais pictóricos. Estes são hoje interpretados como marcas que tinham sido anexadas a objetos funerários (que desde então desapareceram) a fim de registar a sua quantidade e, possivelmente, a sua proveniência.  Placas encontradas no túmulo de Uj, datado de 3300 a.C. As 4 placas da direita, representam, de cima para baixo os números: 6, 6, 9 e 8, respetivamente.  Os egípcios, desde do início, desenvolveram dois sistemas de escrita: - Os numerais escritos em hieróglifos encontram-se em túmulos, em monumentos e objetos de pedra. Dão pouca informação sobre como eram realizados os cálculos com o sistema numérico desenvolvido. Numerais (hieróglifos) do templo de Karnac - Os numerais registados em objetos feitos de cerâmica outras superfícies adequadas, eram pintados, com tinta e pincel. Ao passarem para a escrita em papiro, e para a escrita necessária na vida diária, os egípcios utilizaram este sistema de escrita que era mais rápido. A escrita hierática, que foi utilizada até cerca de 800 a.C. Numerais (hieráticos) do papiro de Rhind Os papiros matemáticos Os conhecimentos que temos da matemática egípcia provêm, essencialmente, de dois textos escritos em papiro: o papiro de Rhind (1600 a.C.) e o papiro de Moscovo (1800 a.C.). No entanto pensa-se que os conhecimentos matemáticos neles contidos datam de uma época anterior, provavelmente, mesmo do início da civilização egípcia. Certo é que o papiro de Rhind foi copiado de outro da mesma época do papiro de Moscovo. Uma vez que estes papiros são compostos por problemas, e pelas suas resoluções, alguns dos quais elementares, supõe-se que eles tinham intenções puramente pedagógicas e que eram basicamente destinados ao ensino dos funcionários do estado, dos escribas. A partir destes temos acesso apenas a uma matemática elementar. Não se sabe se os egípcios tinham, ou não conhecimentos matemáticos mais avançados, no entanto, os monumentos por eles construídos levam a pensar que na realidade os arquitectos eram possuidores de conhecimentos não revelados nos papiros. Outros papiros, da mesma época, são o papiro de Berlin, que contém dois problemas que envolvem equações do 2.º grau e o papiro de Kahun. A Matemática egípcia é conhecida pelas suas fracções unitárias. As fracções eram necessárias porque sendo, por exemplo, os salários pagos em pão e cerveja era muitas vezes preciso dividir esses bens pelos diferentes trabalhadores. Por outro lado, o processo que utilizavam para dividir, dividindo sucessivamente por dois, conduzia muitas vezes a fracções. Os papiros referidos provém todos da mesma época (Império Médio), de uma época de alguma estabilidade, em que imperava o comércio com outros povos e a agricultura viu um grande desenvolvimento. Contudo, apenas se conhece a proveniência do papiro de Kahun, que foi encontrado em Kahun, uma vez que os outros três foram comprados em mercados e não foram achados em nenhuma exploração arqueológica (Imhausen, 2007). Desde o Império Médio até ao período Persa, não são conhecidos papiros com conteúdos específicos da matemática. Isto não significa que não tenha havido qualquer tipo de estudo da matemática no Egito; não nos podemos esquecer que o papiro é muito frágil e que a sua conservação não é fácil. Poderão, portanto, ter desaparecido muitos papiros ou poderá realmente não ter havido desenvolvimento matemático nesse período de cerca de 1000 anos. Mas tal é difícil de acreditar uma vez que o Egito passou durante este período por algumas fases de estabilidade e prosperidade. Ainda assim, conhecem-se deste período vários ostracas, provenientes de Deir-el-Medina (localidade onde habitavam os construtores das pirâmides do Vale dos reis), alguns dos quais envolviam cálculos de volumes, provavelmente relacionados com a construção das pirâmides (Imhausen, 2007). O Egito esteve sob o domínio Persa durante dois períodos, de 525 a.C. a 404 a.C. e de 343 a.C. a 332 a.C. (Imhausen, 2007). Um dos papiro da época Persa, do século III a.C, que chegaram até nós, é o papiro de Cairo onde se encontram vários problemas com o teorema de Pitágoras. Este papiro denota uma forte influência Babilónica.  O papiro de Cairo está escrito num outro sistema de escrita desenvolvido a partir da hierática no Egipto - a demótica, neste mesmo sistema estão escritos outros papiros posteriores a este. Quando em 332 a.C. o Egito foi conquistado por Alexandre, o Grande, o Egito passou a fazer parte do mundo Grego e em 30 a.C. passou a ser uma província Romana (Imhausen, 2007). Tanto no período Ptolemaico (332 a.C. a 30 a.C.) e como no Romano (30 a.C. a 395), encontram-se papiros escritos em demótico. Repare-se que neste período os faraós egípcios, a partir de Ptolomeu I, eram Gregos, e embora tenham adoptado alguns costumes egípcios, falavam grego e pensavam que a cultura grega era melhor, se assim se poder dizer, que a egípcia. Não nos podemos esquecer que é nesta altura que os matemáticos Gregos, como Euclides, trabalham em Alexandria, e que maior parte da produção matemática realizada no Egipto é escrita em grego e considerada, por isso, matemática grega.
Página criada em 2001	Última actualização 30-11-2013

Fibonacci o sonhador de números

Leonardo na corte do imperador Frederico II

O livro infantil é uma biografia, narrada de uma forma atrativa de Leonardo de Pisa, 
Leonardo Pisano ou Leonardo Bigollo (c. 1170-1250 ), também conhecido como Fibonacci.
Situado em Itália, nos tempos medievais, conta-nos que Leonardo Fibonacci foi um menino que sonhava dia e noite com os números. Ele era um sonhador e as pessoas ao seu redor não o entendiam. Quando cresceu, Leonardo viajou e conheceu outras formas de escrever os números, números diferentes da Europa Ocidental de então. Depois compreendeu que muitas coisas da natureza pareciam seguir um certo padrão. O menino, de que todos riam, descobriu aquilo que ficou conhecido como a sequência de Fibonacci.
Hoje em dia Leonardo Fibonacci é conhecido pelo seu problema acerca de multiplicar coelhos e é considerado como uma dos grandes matemáticos de todos os tempos.

Imagens do livro

Fibonacci sentado no topo de uma colina com vista sobre a paisagem Toscana.

Todo o  livro tem objetos de Fibonacci - coelhinhos, pinhas, girassóis, espirais - escondidos nos desenhos.

Um pequeno carneiro ou uma cabra soltou-se e dois agricultores estão a persegui-lo através de um campo o caminho que seguem forma uma espiral. E, claro, o carneiro tem chifres em forma de espiral ...

"Podem-me chamar sonhador, todas as pessoas o fazem."

"Um dia quando ainda era apenas um rapaz, o Mestre escreveu um problema de matemática de deu-nos 10 minutos para resolvê-lo. Eu resolvi-o apenas em dois segundos".

"É assim que eu sou com os números. Adoro-os desde que era muito novo. Na casa dos meus pais, para onde quer que olhasse, havia sempre algo para contar"

"Na aula desse dia, os outros alunos fizeram os trabalhos de matemática no ábaco e escreveram as suas respostas em numerais romanos. Era muito demorado, mas era assim que fazíamos os trabalhos de matemática, nessa altura. Eu esperei que eles acabassem, mas fiquei aborrecido."

"Contei doze aves numa árvore fora da aula. Perguntei-me "Quantas pernas terão todas aquelas aves? Quantos olhos? Quantas asas? E se cada ave cantasse durante dois segundos, uma ave a seguir à outra, quanto tempo demorariam todas a cantar?

Estas questões eram tão maravilhosas que comecei a sonhar acordado."

(Na árvore vê-se uma espiral e a aves então dispostas de acordo com essa espiral.)

"-Eu acho que as pessoas são mais felizes quando eles sabem do que realmente gostam - disse Alfredo.

- E tu, Leonardo, o que é que te faz você feliz?

-Números -respondi eu, sem pensar.

-Então deves aprender tudo o que poderes sobre eles. E assim, serás feliz"

Este é o centro medieval de Pisa, onde Fibonacci viveu em criança. Ele fugiu da escola e corre pelas ruas.

"Ao lado da Catedral, os pedreiros estavam a construir uma nova torre.

Mas parecia que algo estava errado nos cálculos dos construtores!"

Fibonacci embarca com o pai para a África do Norte.

Leonardo viaja pelo Mediterrâneo em busca da matemática.

Na minha nova casa, notei que os mercadores árabes não usavam os números romanos,  os números que eles usaram vinham dos  hindus, o povo da Índia.

No meu país, nós escrevemos: XVIII. Aqui os mercadores escreviam-no: 18.

Vejo que é muito mais fácil? Eu queria muito aprender esses números estranhos ...

"Ultimamente tenho pensado nesses números de maneira diferente. Vejam: Na areia desenho um quadrado pequeno quadrado e outro pequeno quadrado ao seu lado. Depois vem um figura com  2 quadrados de lado 2 . Depois uma com 3  quadrados de lado.Depois uma com 5 quadrados de lado, 8 quadrados e 13 quadrados."

"Eu posso continuar, sempre - disse, mas não fica bem a não ser que os una... assim.Pode adivinhar o que eu desenhei dentro deles? - Uma espiral - disse - Consegue fazer uma espiral com os meus números!"

Fibonacci com uma pinha

  Fibonacci escreve o Liber Abaci --- "O Livro de Cálculo"

 À esquerda é o primeiro mês, há apenas 1 par de coelhos. Em seguida, no segundo mês, 2 pares. E assim sucessivamente ..

Ficha, em espanhol de exploração do livro (PDF)

Leonardo de Pisa - Fibonacci

(1170 -124?)

Não existem imagens de Leonardo de Pisa da sua época, assim tanto as gravuras, como a estátua, situada em  Pisa, são puras recreações.

Leonardo de Pisa nasceu em Pisa na Toscânia, em cerca de 1170. 
Na altura Pisa era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como Génova e Veneza.
Pisa tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do Mediterrâneo. O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da costa de África (Bugia, actualmente Bejaia na Argélia), foi aqui que Leonardo iniciou os seus estudos de matemática com professores islâmicos.Mais tarde viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), encontrando-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais que visitava e adquirindo, assim, o conhecimento matemático do mundo árabe.Talvez devido ao seu "prazer" por viajar Leonardo assinava, por vezes, LeonardoBigollho, que significa em toscano, viajante. Leonardo assinava também fillius Bonacci (fillho de Bonnacio, o seu pai chamava-se, provavelmente, Guilielmo Bonnacci). O nome porque é actualmente mais conhecido, Fibonacci, foi lhe atribuído pelo editor, do século XIX, das suas obras.

	Em 1200 Leonardo regressa a Pisa e passa os 25 anos seguintes a escrever trabalhos onde incorpora os conhecimentos que tinha adquirido com os árabes. O seu livro mais conhecido, um tratado de aritmética e álgebra elementar, Liber Abaci (Livro de cálculo) foi escrito em 1202. Em 1220 escreveu Pratica Geometriae e em 1225, Liber Quadratorume Flos.
Practica geometriae, folha 132v

A importância de Leonardo foi reconhecida na sua cidade natal que, em 1240, lhe concede uma remuneração anual como agradecimento aos serviços prestados à comunidade; assim como, na corte do Imperador Frederico II.
Última actualização 15-12-2002	Remuneração anual atribuída a Leonardo pela cidade de Pisa

Quantos barris há no monte?

De  Jinkoki, c. 1818, Japão

E mais algumas fotos que podem servir para o mesmo problema:

Problema - Delícias turcas

Esta pirâmide é inteiramente construída a partir de delícias turcas. A base da pirâmide é feita por uma camada com a forma de um quadrado de 16 por 16 delícias turcas, num total de 256 delícias  turcas. Por cima desta camada há um segundo quadrado de 15 por 15, um terceiro quadrado de 14 por 14, e assim sucessivamente, até uma única delicia turca no topo da pirâmide. 

• Quantas delícias turcas estão nas três camadas superiores? 
• Quantas delícias turcas foram utilizadas, ao todo, na pirâmide?