Medindo com vasilhas

Eram dois homens que iam por um caminho. Um levava 8 canadas de vinho numa cabaça e o outro levava 8 canadas de vinho em duas cabaças, cinco canadas de vinho numa e três na outra. Beberam o vinho da cabaça grande que tem 8 canadas e querem se separar e dividir o vinho das outras duas cabaças, cinco numa e três na outra. Querem que nenhum deles leve mais vinho do que o outro, ou seja que cada um leve 4 canadas e não têm medidas nenhumas. Ora eu pergunto de que maneira devem cambar o vinho de umas cabaças para as outras para que nenhum vá enganado. (Gaspar Nicolas, fol 51 v.)

Esta  versão do problema é retirada da primeira aritmética impressa em Portugal, cuja primeira edição é de 1519. 


Experimente fazer este, e outros problemas, clique na vasilha:

 

Ou fazer o download de um programa que resolve, automaticamente, problemas deste tipo em:

http://www.delphiforfun.org/Programs/Measuring_Cups.htm

A primeira versão escrita

A primeira versão escrita do problema parece ser a do manuscrito de um Abade alemão (Albert von Strade), que data de 1240:

Havia 2 vasilhas, uma de 5 “canadas” e uma de 3 “canadas” e uma fonte, posso despejar as vasilhas e enchê-las quando quiser, mas devo obter exactamente 4 “canadas”... Como é que devo fazer?

No tratado de aritmética de Paolo Damogari (Florença, c. 1339) o mesmo problema reaparece.

  Outras versões do Problema

Pacioli, no seu manuscrito De viribus quantitatis  (c. 1550), parece ter sido o primeiro alterar as capacidades das vasilhas:

	dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 7 e outra de 5;
	dividir 10 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 6 e outra de 4;
	dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 8 e outra de 4.

Tartaglia, no seu General Trattato di numeri e misure (1556), além do problema inicial, introduziu um outro problema com mais uma vasilha:

dividir 24 “canadas” em três partes iguais, usando três vasilhas, uma de 5, uma de 11 e outra de 13 “canadas”.

Bachet de Méziriac, em 1624, no seu livro Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, além do problema inicial, introduziu os seguintes:

	dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 9 e outra de 7;
	dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 11 e outra de 6;
	dividir 42 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 27 e outra de 12.

Uma generalização do problema foi dada por Labosne na sua 5ª edição (1959) do livro de Bachet de Méziriac:

três recipientes a, b e c, estando c cheio, dividir igualmente o conteúdo de c.

Uma formulação mais geral do problema é:

Dado um conjunto de recipientes e fixada a sua capacidade, descobrir que capacidades são mensuráveis, e determinar o número máximo e mínimo de passos necessários para medir tal capacidade.

Última actualização 04-12-2002