Decomposição perfeita de quadrados II

Alguns fabulosos trabalhos realizados com base na
menor decomposição conhecida de um quadrado em diferentes quadrados

Vitral, Prof. Spiegelhalter

Tampo de uma mesa, de R.R.G. Rivington,  1982

Bob Mackay

Joan Hinchliffe

Pat Ashforth

Eric C. Harshbarger

Indiana University

Puzzle - C.J. Sangwin 

Decomposição perfeitas de quadrados I

Eu possível decompor qualquer quadrados em quadrados mais pequenos.

Por exemplo, um quadrado de 3 por 3 pode ser decomposto em 9 quadrados mais pequenos ou em 6 quadrados: 

 

• Qual é o lado do menor quadrado que se consegue decompor em quadrados todos de tamanhos diferentes?

traduzido e adaptado de 

Solução do problema: 

O lado do menor quadrado que se consegue decompor em quadrados todos diferentes é 110, eis uma solução:

O problema pode parecer simples, mas na verdade a solução acima e as outras duas apresentadas abaixo só foram descoberto com a ajuda de computadores, em 1978. Nestas três soluções o quadrado, de lado 110, está dividido em 22 quadrados todos diferentes:

O quadrado decomposto no menor número de quadrados diferentes tem 112 de lado e é possível  decompor em 21 quadrados. Foi descoberto em 1978 por  Duijvestijn, com a ajuda de um computador:

A primeira decomposição perfeita de quadrados, ou seja, noutros quadrados todos de tamanhos diferentes, foi descoberta por R. Sprague em 1939, composta por  55 quadrados e com um lado de 4205.

                                                                                                                        

Cálculo de áreas

A necessidade de calcular áreas de terrenos levou várias civilizações a desenvolver técnicas para o fazer. Essa necessidade está bem documentada no Egito antigo.

Áreas de retângulos

Áreas de triângulos

Áreas de quadriláteros

No Egito

A medição de terrenos

A necessidade de medir os campos no Egito é relatada por Heródoto, filósofo grego do século V a.C. Segundo Heródoto sempre que o Nilo inundava era necessário determinar a quantidade de terra que os agricultores perdiam, uma vez que deveriam pagar uma taxa, ao rei Sesostris III (cerca de 1872-1853 a. C.), que deveria ser proporcional à taxa imposta antes da inundação das terras.

Quando o Nilo transborda, cobre o Delta e as terras chamadas Líbia e Arábia, numa distância de uma viagem de dois dias desde as duas margens, …, não consegui saber nada da sua natureza, nem dos sacerdotes nem de qualquer outra pessoa. Tinha curiosidade em saber por que é que o rio transborda durante cem dias desde o solstício de Verão, …, e o rio está baixo durante todo o Inverno até transbordar de novo no solstício de Verão. … Por esta razão o Egito foi dividido. Disseram-me que este rei (Sesóstris) repartiu todo o país entre os egípcios, dando a cada um uma porção igual de terra, e fê-lo sua fonte de rendimento, avaliando o pagamento de um tributo anual. E se qualquer homem que fosse roubado pelo Nilo de uma porção de suas terras podia dirigir-se a Sesóstris e expor a ocorrência, então o rei enviaria um homem para verificar e calcular e parte pela qual a terra tinha sido reduzida, de tal forma que a partir dessa altura ele deveria pagar proporcionalmente ao tributo imposto originalmente. Esta foi a forma como, na minha opinião, os Gregos aprenderam a arte de medir a terra; os relógios de sol, os gnomos e as doze divisões do dia, vêm para a Grécia da Babilónia e não do Egito. Heródoto (II, 109)

Embora Heródoto tenha relatado história mais de 1000 anos após Sesóstris ter vivido, parece não haver dúvidas de que os antigos egípcios colectavam taxas, ou pelos menos impostos. Pelo menos, esse parecia ser um dos deveres dos escribas egípcios de acordo com o texto de cerca de 1250 a.C. «A educação de Amenemope». 

A educação de Amenemope, 1250 a. C.

Os escribas tinham como funções registar as fronteiras das terras, os impostos, as terras, e ao medi-las deveriam ser cuidadosos ao utilizar a corda. Esta medição deveria ter como objectivo determinar a área do terreno, tal como relata o seguinte extrato.

Que registas as marcas das fronteiras dos terrenos.
Que fazes, para o rei, a sua listagem de taxas.
Que registas as terras do Egito.
O escriba que determina as oferendas para todos os deuses.
Que dás a escritura das terras ao povo.
O fiscal dos cereais, provedor da comida.
Que forneces os celeiros, de cereais…
Não movas as marcas das fronteiras dos terrenos.
Nem movas a posição da corda de medir.
Não sejas mesquinho no cúbito de terra.
Nem invadas as fronteiras da janela.

The Instruction of Amenemope, New Kingdom
M. Lichtheim, Ancient Egyptian Literature, Volume II,  pp. 448

Escriba inspeccionando a pedra de fronteira dos terrenos, túmulo do escriba Nebamun (1400 a 1390 a.C.)

As cordas de nós

Para medir os terrenos os escribas utilizavam uma corda com nós. Há várias representações de harpedonaptae, esticadores de cordas, tal como, Demócrito¹ (cerca de 410 a.C.) os denominava, em túmulos egípcios. Por exemplo, no túmulo de Menna, escriba que terá vivido, provavelmente no século XIV a.C., encontra-se uma pintura dos esticadores de cordas, uma outra pintura com esticadores de cordas encontra-se no túmulo do escriba Djeserkareseneb, também da mesma época.

Esticadores de cordas, túmulo de Menna (século XIV a. C.)

Esticadores de cordas, túmulo de Djeserkareseneb (1405 a 1395 a. C.)

Os nós poderiam servir como subdivisões, e as cordas mediam, provavelmente, um cúbito real².

Das cordas às áreas de terrenos

Há evidências de que os egípcios sabiam calcular, pelo menos aproximadamente, a área das terras. Nos papiros egípcios, mais antigos, com conteúdos matemáticos, o papiro de Rhind , de Moscovo, e de Kahun, do 2.º milénio a.C., contém problemas referentes a áreas de terrenos, envolvendo triângulos, retângulos e outros quadriláteros.

Os egípcios utilizam métodos aproximados de cálculo das áreas dos terrenos, provavelmente, porque seria extraordinariamente difícil determinar com precisão a sua área, o que envolveria nalguns casos ter de dividir  terreno em retângulos e triângulos o que não seria praticável. Alguns autores são da opinião de que os egípcios conheciam a regra para o cálculo da área de triângulos, mas que a dificuldade de, no terreno, determinarem a sua altura relativamente a uma base levava-os a utilizarem, apenas, uma estratégia aproximada para o seu cálculo.

---

Notas
1 Demócrito, citado por Clement de Alexandria (c. 215), terá afirmado: “Na construção de linhas, com demonstrações, ainda ninguém me surpreendeu, nem mesmo os Harpedonatae do Egipto”
² Provavelmente as cordas tinham 100 cúbitos de comprimento. O cúbito variava entre 52,3 to 52,9 cm.

Página criada em 2007

Corda dos 13 nós

Consta que os antigos egípcios construíam triângulos retângulos utilizando uma corda dividida, através de nós, em 12 espaços iguais.   

 

Com uma corda atada como esta, que outros triângulos se conseguem construir? (Cada vértice do triângulo deve coincidir com um nó.) 

Que outros polígonos regulares se conseguem construir - ou seja, polígonos com lados iguais e ângulos iguais?

traduzido e adaptado de 

Área do círculo

Uma forma de mostrar que a área de um círculo é π × r² é  "desenrolar" uma espiral de fio de modo a formar um triângulo.

O primeiro passo consiste em enrolar um fio em espiral unir a espiral com fita cola a partir do centro até à borda.

Depois, cortar o fio junto à fita cola.

Agora desenrolar o fio de modo a formar um triângulo.

A base do triângulo é feita pelo pedaço de fio que usou para a fronteira do círculo. Portanto, o comprimento da base do triângulo  é a circunferência do círculo (2 × π × r). A altura do triângulo é o raio do círculo (r). Se substituir estas duas expressões na fórmula da área de um triângulo, vai acabar por obter a fórmula para a área de um círculo.

Traduzido e adaptado de: http://www.amazingmathprojects.com

Cubos

de: http://search.it.online.fr/covers/?p=1609

Robert Morris, ‘Box with the Sound of its Own Making’, 1961

Tony Smith, ‘Die’, 1962

Willys de Castro, ‘Objeto ativo’, 1962

Hans Haacke, ‘Condensation Cube’, 1963

Larry Bell, ‘Untitled’, 1964

Michelangelo Pistoletto, ‘Metro cubo d’Infinito’, 1965-1966

Alighiero e Boetti, ‘Zig-Zag’, 1966

Tony Rosenthal, ‘Alamo’, 1967

Isamu Noguchi, ‘Red Cube’, 1968

Sol Lewitt, ‘Incomplete Open Cube’, 1968

Eva Hesse, ‘Accession II’, 1968

John McCracken, ‘Untitled (Brown Block)’, 1970

Richard Serra, ‘Berlin Block (For Charlie Chaplin)’, 1978

Charles Ray, ‘Ink box’, 1986

Liz Larner, ‘Cube’, 1989

Rachel Lachowicz, ‘Sarah’, 1992

Janine Antoni, ‘Gnaw’ (detail), 1992

Cildo Meireles ‘Thread’, 1990-1995

Tara Donovan, ‘Untitled (Toothpicks)’, 1996

Jim Isermann, ‘Cubeweave (0396)’, 1996

Liam Gillick, ‘Discussion Island’, 1997

Ungaro

Tom Friedman, ‘Untitled (pedestal with flies)’, 2002

Jean Nouvel, ‘Monolith’, 2002

François Curlet, ‘American Dino: oeuf de voiture’, 2003

Damián Ortega, ‘Concrete cube (grey)’, 2003

Rebecca Warren, ‘Cube’, 2003

Jitrois

Jeppe Hein, ‘Shaking Cube’, 2004

Ai Weiwei, ‘Ton of Tea’, 2005

Gyan Panchal, ‘Eer’, 2006

Mona Hatoum, ‘Cube’, 2006

Johannes Wohnseifer, ‘Feminized White Cube’, 2006

Lara Favaretto, ‘Solo se sei mago’, 2006 (100kg de confetti blanc)

Monika Sosnowska, ‘Untitled’, 2006

Gerwald Rockenschaub, 2007

Jedediah Caesar, ‘Untitled (Hollow Box)’, 2007

Gregor Schneider, ‘Cube Hambourg’, 2007

Yann Serandour, ‘Inside the white cube’, 2008

Roni Horn, ‘Pink Tons’, 2008

Carlos Estrada Vega, ‘Carlitos’, 2008

Fabien Giraud et Raphaël Siboni, 2009

Kris Martin, ‘Thank You’, 2009

Walead Beshty, ‘20-inch Copper (FedEx® Large Kraft Box© 2005 FEDEX 330508) International Priority, Los Angeles–London trk#8685 8772 8040, date October 2–6, 2009. International Priority London–New York trk#863822956489, date November 18–20, 2009, International Priority New York–London trk#7952 0098 1790, date September 19–21, 2011′, 2011

Benjamin Renoux, ‘Cube 1′, 2011

Stefan Bruggemann, ‘Nothing Box’, 2003



Martin Creed, ‘Work No. 571′, 2006



Marissa Lee Benedict, ‘Re-action-Reaction, Accession (after Eva Hesse)’, 2011



Willys de Castro, ‘Projetos Para Pintura’, 1958



Ellsworth Kelly, ‘Green Black’, 1968



Johannes Wohnseifer, ‘S.O.A.P’, 2007



Collectif anonyme, ‘Cube’, 2010



Marcel Duchamp, ‘Why not sneeze rrose sélavy?’, 1921



Sol LeWitt, ‘The Buried Cube’, 1968



Jackie Winsor, ‘Burnt Piece’, 1977-8



Angel Ruiz-Larrea, ‘Monumento a la constitución’, 1978



Gabriel Orozco, ‘Elevator’, 1994, found object



Didier Vermeiren, ‘Adam’, 1995



Monica Bonvicini, ‘Don’t Miss a Sec.’, 2004



Carsten Nicolai, ‘Reflex’, 2004



Werner Reiterer, ‘Life counts death’, 2008



Tom Friedman, ‘Care Package (Manipulated)’, 2008



Caleb Larsen, ‘A Tool to Deceive and Slaughter’



Krystina Naylor, ‘Untitled (Open Box II)’, 2011



Meca



Santiago Sierra, ‘Bread Cube’, 2003



Santiago Sierra, ‘586 horas de trabajo’, 2004



Santiago Sierra, ‘Jerusalem Stones in a Meter Cube Box’, 2004