Anania de Shirak

Uma vez apaixonado pela arte do cálculo, penso que nenhuma noção filosófica pode ser construída sem o número, considerando-a a mãe de toda a sabedoria. Anania de Shirak

Anania de Shirak, nasceu na região de Shirak, na Arménia, provavelmente entre 595 a 610, e morreu, em cerca de 685, numa época em que a Arménia estava ocupada pelos árabes. 

Publicou livros sobre Cosmografia, os signos do Zodíaco, sobre as nuvens e os sinais atmosféricos, sobre problemas do calendário, uma Geografia da Arménia, etc. Traduziu inúmeros livros de grego para arménio, e foi um dos únicos autores da sua época a deixar uma pequena biografia.

Na busca de conhecimento científico, Anania viajou pela Grécia e esteve em Constantinopla. Estudou, durante oito anos, com o matemático bizantino Tychikos, em Trebizond. Por fim regressou à Arménia, em 651, onde abriu a sua própria escola, aparentemente a primeira do seu pais a ensinar o quadrivium. De acordo com Hewsen (1968) no final da sua vida tornou-se um monge da Igreja Arménia, contudo outros autores referem que este foi perseguido pela igreja no final da sua vida, tendo fugido para Veneza.

Entre muitos dos seus manuscritos, encontram-se alguns relacionados com a matemática.

Aritmética


Um livro de Aritmética (Xaraxcanakank), dividido em vários capítulos: 

• Tábuas aritméticas (T'uabant'iwn) - o livro contém uma série de tabelas da adição, subtracção e multiplicação. O maior número citado é o 80 000 000.

Tabela de adições

• Tábuas de recíprocos até 6000

• Questões e soluções -  é uma colecção de 24 problemas matemáticos e das suas soluções. Muitos destes problemas têm como contexto situações do dia a dia e fornecem diversa informação sobre a história, a topografia e os costumes arménios. O primeiro e o oitavo problemas estão relacionados com a revolta dos Arménios contra os Persas, em 572.

Lista de soluções

• Problemas para festas - "quando se pretendem dizer coisas alegres" dos problemas deste capítulo apenas oito problemas chegaram aos nossos dias.

Um livro sobre pesos e medidas  (Girk Vasn Ksroc' ew C'apuc').

Questões e soluções

Problema 1
O meu pai contou-me a seguinte história. Durante a famosa guerra entre os Arménios e os Persas, o príncipe Zaurak Kamsarakan levou a cabo numerosos actos heróicos. Três vezes, num único mês, atacou as tropas Persas. A primeira vez, derrotou metade do exército Persa. A segunda vez, perseguindo o seu objectivo, esmagou um quarto dos soldados. A terceira vez, destruiu onze avos do exército Persa. Os Persas que sobreviveram, duzentos e oitenta, fugiram para Nakhichevan. E assim, deste resto, descobre quantos soldados Persas havia antes do massacre.
Solução: 1760

Problema 2
Um dos meus parentes foi a Bahl e comprou pérolas por um preço muito bom. Ao regressar a casa, passou por Gandzak, onde vendeu metade das pérolas por cinquenta moedas cada uma. Depois foi a Nakhijevan e vendeu um quarto das pérolas por setenta moedas cada uma e em Dvin [vendeu] 1/12 das pérolas, cada uma por cinquenta moedas. Quando chegou a Shirak, tinha vinte e quatro pérolas. Agora, deve descobrir, quantas pérolas que tinha e qual era o seu preço.
Solução: Tinha 144 pérolas e seu preço era 6720 moedas.

Problema 3

Ouvi do [meu] professor que os ladrões entraram na sala do tesouro de Markanion  e roubaram metade do tesouro. Os tesoureiros encontrou apenas 421 cendinars e 3600 dahekans [1 cendinar = 7200 dahekans]. Agora, você deve descobrir, de quanto era todo o tesouro.
Solução: O tesouro era de 1686 cendinars.

Problema 4
O salário dos Frades Santa Sofia [é distribuído de modo]: Os diáconos recebem a 1/5 parte, os sacerdotes recebem a 1/10, os bispos recebem 200 dinheiros, os restantes recebem 2000 dinheiros. Agora, você descobrir, de quantos dinheiros é o salário do Frades Santa Sofia.
Solução: O salário do convento é de cerca de 3200 dinheiros.

Problema 5
O salário dos oficiais é distribuído de tal forma que: um quarto é dado aos respeitáveis, 1/8 é dado aos seniores e 150 cendinars é dado a outros oficiais. Agora, você deve descobrir, de quanto é o salário dos oficiais.
Solução: O salário dos oficiais é de de 240 cendinars.

Problema 6
Havia alfaces no meu jardim. Um romano entrou meu jardim para dar um passeio. Comeu a 1/5 e a 1/15 parte das alfaces. Como sabia que ele era ganancioso e mandou-o para longe do meu jardim. Contei as alfaces que sobraram. Havia 110 alfaces. Agora, você deve descobrir, quantas alfaces estavam no meu jardim e quantas é que o romano comeu.
Solução: Havia 150 alfaces e o romano comeu 40 alfaces.

Problema 7
Outrora estive em Marmet, a capital Kamsarakans. Deambulando ao longo das margens do rio Akhuryan, vi um cardume e ordenei que fosse lançada uma rede. Apanhámos metade e um quarto do cardume, e todos os peixes que deslizaram para a rede, acabaram num cesto. Quando olhei para o cesto, contei quarenta e cinco peixes. E agora, descobre quantos peixes havia ao todo. 
Solução: Havia 420 peixes.

Problema 8
Durante a famosa revolta arménia contra os Persas, quando Zaurak Kamsarakan matou Suren, um dos azats [de uma casca social superior] arménios, mandou um emissário ao rei Persa para relatar as notícias sinistras. O emissário percorreu, em cada dia, cinquenta milhas. Quinze dias depois, quando soube isto, Zaurak Kamsarakan enviou viajantes em perseguição do emissário, para o trazer de volta. Os viajantes percorreram oitenta milhas, em cada dia. E assim, descobre em quantos dias os viajantes apanharam o emissário.
Solução: 25 dias.

(citados por Yuly Danilov)

Problema 9 
Os Kamsarakans estavam a caçar em Gen. Caçaram muitos animais. Deram-me um javali. Como era muito grande, desventrei-o. As suas entranhas era a quarta de seu peso, a sua cabeça 1/10 do seu peso, as patas traseiras 1/20 do seu peso, suas presas eram  1/90 do seu peso. Seu tronco era de 212 litros. Agora, deve descobrir, qual era o peso javali.
Solução: O javali tinha 360 litros.

Problema 10 
Perto Marmet, no rio Eraskh  (Arax) pesquei um peixe. Escalei-o. A cabeça era um quarto do seu peso, a sua cauda era 1/6 do seu peso, o seu tronco era 140 litros. Agora, deve descobrir, qual era o peso do peixe.
Solução: O peixe tinha 240 litros.

Problema 11 

Um mercador passa por três cidades. Na primeira cidade paga metade e um terço dos seus bens de taxa. Na segunda cidade paga metade e um terço do que sobra dos seus bens. Na terceira cidade paga, de novo, metade e um terço dos seus bens. Por fim sobram-lhe 11 moedas. Quanto são os seus bens originais?
Solução: 2376 moedas.

(citado por Shen Kangshen et al.)

Problema 12 

Queria construir um barco, mas tinha apenas três dinheiros. Disse à minha família: "Cada um de vocês vai-me dar alguma coisa e eu vou construir de um barco". Um deles deu-me 1/3 do preço do barco, outro deu-me a 1/4, outro deu-me a 1/6, outro deu-me 1/7 e um deles deu-me 1/28 do preço do barco. Então, eu construí o barco. Agora,  deve descobrir, quantos dahekans custava o barco.
Solução: O navio custava 42 dahekans.


Problema 13

Um dos meus alunos comprou maçãs apanhadas em Kara e queria dar-me algumas. No caminho encontrou três grupos de jokers. Cada grupo ficou com a metade e o quarto das [restantes] maçãs. Ele deu-me as maçãs que sobraram [5 maçãs]. Agora deve descobrir, quantas maçãs ele tinha.
Solução: Tinha 320 maçãs.

Problema 14 
Havia um barril de vinho. Havia também três jarros. Encho os jarros de vinho. Um dos jarros ficou com 1/3 do todo o vinho, outro com a 1/6 e o último tomou a com a 1/4. Com o vinho que sobrou, com que enchi as tigelas tinha 54 pases. Agora, deve descobrir, quantos pases tinha o vinho.
Solução:O vinho tinha 126 pases.

Problema 15 
Tinha um cavalo puro-sangue e vendi-o. Com um quarto do dinheiro que eu recebi comprei vacas. Com um um sétimo comprei cabras, com  um décimo comprei bois e com o restantes 318 dahekans comprei ovelhas. Agora, deve descobrir, quantos dahekans me deram pelo cavalo.
Solução: O preço do cavalo foi 616 dahekans.

Problema 16 
Estava a construir uma igreja. Contratei um pedreiro, que colocava 140 tijolos por dia. 39 dias mais tarde, contratei outro pedreiro, que colocava 218 tijolos por dia. Quando o número de tijolos que o segundo pedreiro colocou igualou o número de tijolos que o primeiro pedreiro colocou, a obra terminou. Agora, deve descobrir, quantos dias depois [de ter contratado o segundo pedreiro] o trabalho terminou.
Solução:  O trabalho terminou 70 dias depois de ter contratado o segundo pedreiro.

Problema 17 
Um barco cheio de trigo ia a navegar. Uma baleia ia em perseguição do barco. Os marinheiros com medo da baleia deitaram fora metade do trigo para alimentar a baleia. No dia seguinte, deitaram fora um quinto do do trigo que tinha sobrado. No terceiro dia deitaram fora um oitavo do que tinha sobrado. Ao quarto dia deitaram fora um sétimo do trigo que tinha sobrado. Quando chegaram ao porto,  tinham 7200 [medidas de] trigo. Agora, você deve descobrir, quanto trigo tinham.
Solução: Tinham 24000 medidas de trigo.

Problema 18  
Havia uma tina em minha casa. Fundi-a e fiz, com o metal, outras vasilhas. De um terço, fiz um prato; de um quarto, outro prato; de um quinto, duas taças; de um sexto duas caixas; e de duzentos e dez drams, fiz uma tigela. E agora, descobre o peso da tina. 
Solução: Tinham 4200 drams.  

(citado por Yuly Danilov)

Problema 19  

Um homem entrou três igrejas e pediu a Deus na primeira igreja: "dá-me tanto quanto eu tenho e dar-te-hei 25 dahekans". E nas outras pediu a Deus o mesmo, e ficou sem nada. Agora, deve descobrir, quanto dinheiro ele tinha. 
Solução: Tinha 21+1/2+1/4+1/8 (21 875) dahekans.  

Problema 20
A reserva de caça de Nersekh Kamsarakan, [soberano] de Shirak e Asharunik, era no sopé da montanha chamada Artin. Uma noite um grande manada de burros selvagens entrou na reserva. Os caçadores não conseguiram fazer frente aos burros e, correndo para a vila de Talin, contaram a Nersekh acerca dos burros. Quando ele chegou com os seus irmãos e azats e entraram na reserva, começaram a matar as bestas selvagens. Metade dos animais foram capturados em  armadilhas, um quarto foram mortos por setas. Os mais novos, que eram a duodécima parte de todos os animais, foram capturados vivos, e trezentos e sessenta burros selvagens foram mortos com lanças. E assim, descobre quantas bestas havia no início do massacre. 
Solução: Havia 2160 bestas

(citados por Yuly Danilov)

Problema 21 

O filho de Arshavir, Nerseh Kamsarakan, que foi o xará e o antececor desta Nerseh, ganha a guerra contra os nómados e faz muitos prisioneiros. Ele presentei o rei persa com a metade dos seus prisioneiros e dá um sétimo da outra metade ao seu filho. Depois, volta às suas terras. No caminho ele visita um dos Ministros e dá-lhe o oitavo dos restantes prisioneiros. Depois, visita Khoravaran e dá-lhe 1/14 dos restantes prisioneiros. Quando entra nas suas terras o seu irmão mais novo, Hrahat, vai ao seu encontro. Então dá-lhe 1/13 dos restantes prisioneiros. Depois, os homens nobres da Arménia vão ao seu encontro e ele dá-lhes a nona parte dos restantes prisioneiros. Quando chega a Vagharshapat dá 1/16 dos restantes prisioneiros às igrejas. Por fim, dá 1/20 dos restantes prisioneiros ao seu irmão mais velho, Sahak. Então, ele fica com apenas 570 homens. Agora, deve descobrir quantos prisioneiros fez.
Solução:  Fez 2240 prisioneiros.

Problema 22 

Ao celebrar o seu aniversário, o rei do Egipto premiou os seus dez oficiais com 100 barris de vinho de acordo com a sua patente de 1 a 10. Quanto vinho é que cada um recebeu?
Solução:  O primeiro-oficial recebe 1 + 1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/55 barris de vinho.
O segundo oficial recebe 3 + 1/2 + 1/10 + 1/40 + 1/80 barris de vinho.
O terceiro oficial recebe 5 + 1/3 + 1/15 + 1/44 + 1/60 + 1/66 barris de vinho. 
O quarta oficial recebe 7 + 1/5 + 1/20 + 1/44 barris de vinho.
O quinto oficial recebe 9 + 1/11 barris de vinho.
O sexto oficial  recebe 10 + 1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/22 + 1/30 + 1/33 barris de vinho. O sétimo oficial  recebe  12 + 1/2 + 1/10 + 1/22 + 1/30 + 1/33 + 1/55 barris de vinho.
O oitavo oficial  recebe 14 + 1/3 + 1/10 + 1/15 + 1/22 barris de vinho. 
O nono oficial  recebe  16 + 1/5 + 1/10 + 1/22 + 1/55 barris de vinho. 
O décimo oficial  recebe 18 + 1/12 + 1/22 + 1/33 + 1/44 barris de vinho.

Problema 23 

Havia um celeiro que tinha  duzentos Kayts de cevada [1 kayt = 41 4720 grãos]. Os ratos comeram toda a cevada. Peguei num e castiguei-o, que disse: "Comi oitenta grãos". Agora, você deve descobrir, quantos eram os grãos de cevada no celeiro e qual era o número dos ratos que comeram a cevada.
Solução: Havia 82 944 000 grãos no celeiro e o número de ratos que comeram a cevada, eram 1 036 800

Problema 24 

Há um reservatório em Atenas.Se abrirmos o dique A, o reservatório ficará cheio numa hora. Abrir o dique B, encherá o reservatório em 2 horas, e abrir o dique C, encherá em 3 horas. Quando estará o reservatório cheio de água se abrirmos os três diques?
Solução:  1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/22 [0.54(54)] hora 

(citados por Shen Kangshen et al)

Referências bibliográficas

Danilov, Y. (1993). The Problem Book of Anania of Shirak (ancient Armenian mathematics), in Quantum, Mar/Apr93.

Hewsen, Robert (1968). Science in Seventh-Century Armenia: Ananias of Sirak,  Isis 59, p. 32.

http://freenet.am/~shaykshe/problem_book.htm

Página criada em 2003

Última actualização 28-12-2013

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Numerais egípcios

O sistema de numeração utilizado no Egito antigo pode ser descrito, em terminologia moderna, como um sistema decimal não posicional (valor de posição). Tanto na escrita hieroglífica, como na hierática, que se desenvolverem a par desde 3300 a.C. (Imhausen) os egípcios utilizavam diferentes símbolos para 1 , 10, 100 , 1000, 10 000 , 100 000 e 1 000 000.

Símbolos da escrita hieroglífica 

Encontra-se, essencialmente, em túmulos, em monumentos e objetos de pedra.

Não se conhece a razão da escolha dos símbolos que representavam cada um dos números.

O número 1 era representado por um traço simples, o número dois por dois traços, etc. O número 10 é representado por uma asa de cesto, de acordo com alguns autores, mas de acordo com outros representa um  ...: O número 100 é representado por uma corda enrolada, uma possível hipótese para tal representação pode ser o facto de se utilizar uma corda com 100 cúbitos ter sido utilizado como medida para determinar as dimensões desconhecidas de terrenos.  

1	10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000

O número 1000 é representado por uma flor de lótus. O 10 000 por um dedo - mais uma vez, uma possível hipótese para tal representação pode ser o facto  de 10 000 ser 10 vezes de 1000 e, assim, criar a associação aos nossos dez dedos. O número 100 000 foi representado pelo hieróglifo de um girino - provavelmente devido ao facto de terem observado de que estes aparecem muitas vezes em grande número. O maior símbolos egípcio para um número foi um deus sentado que representa  1 000 000, ou de acordo com alguns autores uma quantidade muito elevada, mas naõ específica.

Para escrever um número específico, cada um destes símbolos era repetido tantas vezes quantas as necessárias.

Placa identificadora em osso encontrado num túmulo (3100 a. C.)

Por exemplo, na placa da imagem está escrito o número 135, utilizando-se uma vez o símbolo de 100, 3 vezes o símbolo de 10 e 5 vezes o símbolo de 1.  

Como o sistema egípcio era não  posicional, os símbolos, especialmente os que representam os números menores (1, 10 e 100), eram agrupados de forma adequada, para caber no espaço disponível ou para uma melhor representação gráfica. Por exemplo, no caso da placa da figura acima, os símbolos estão escritos de cima para baixo do maior para o menor número. Os símbolos também podiam ser representados da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita; mas sempre do maior para o menor, mudando a sua direção, tal como se descreve na tabela abaixo:

Como o sistema de numeração egípcio era não posicional não existia um símbolo para o zero, para escrever 205 bastava não representar o símbolo de dez.

Decomposição perfeita de quadrados II

Alguns fabulosos trabalhos realizados com base na
menor decomposição conhecida de um quadrado em diferentes quadrados

Vitral, Prof. Spiegelhalter

Tampo de uma mesa, de R.R.G. Rivington,  1982

Bob Mackay

Joan Hinchliffe

Pat Ashforth

Eric C. Harshbarger

Indiana University

Puzzle - C.J. Sangwin 

Decomposição perfeitas de quadrados I

Eu possível decompor qualquer quadrados em quadrados mais pequenos.

Por exemplo, um quadrado de 3 por 3 pode ser decomposto em 9 quadrados mais pequenos ou em 6 quadrados: 

 

• Qual é o lado do menor quadrado que se consegue decompor em quadrados todos de tamanhos diferentes?

traduzido e adaptado de 

Solução do problema: 

O lado do menor quadrado que se consegue decompor em quadrados todos diferentes é 110, eis uma solução:

O problema pode parecer simples, mas na verdade a solução acima e as outras duas apresentadas abaixo só foram descoberto com a ajuda de computadores, em 1978. Nestas três soluções o quadrado, de lado 110, está dividido em 22 quadrados todos diferentes:

O quadrado decomposto no menor número de quadrados diferentes tem 112 de lado e é possível  decompor em 21 quadrados. Foi descoberto em 1978 por  Duijvestijn, com a ajuda de um computador:

A primeira decomposição perfeita de quadrados, ou seja, noutros quadrados todos de tamanhos diferentes, foi descoberta por R. Sprague em 1939, composta por  55 quadrados e com um lado de 4205.

                                                                                                                        

Dois dados vermelhos e um verde

Lance os dados e adicione as pintas dos dois dados vermelhos e depois subtraia as pintas do dado verde.

Se um dos dados vermelhos é 4 e outro dado vermelho é 5 e o verde é 3 devemos fazer:

5 + 4 = 9                9 - 3 = 6

Deve lançar muitas vezes os dados e ver os resultados obtidos, fazendo a adição e subtração.

Neste jogo deve descobrir:

- quais são todos os resultados possíveis.
- que resultados saem mais vezes e porquê. 
- que resultados têm iguais hipóteses de acontecer e porquê.

Pense noutras questões que pode colocar sobre este jogo.

traduzido e adaptado de 

Dados - obter 7

O que é mais provável 

- obter 7 como a soma das pintas das faces de dois dados cúbicos, com pintas de 1 a 6

ou

- obter 7 no lançamento de um dado com 12 faces, numeradas de 1 a 12

Porquê?

Soma de dois dados

Observe estes dois dados. 

Se adicionar o número de pontos das faces de cima, o total é 2.
Se lançar dois dados de seis faces, como estes, e adicionar o número de pontos, que resultados pode obter?

Tem mais hipóteses de obter uma soma do que outra qualquer?

Se sim, qual? E por quê?

E se usar um dado com 10 faces, numeradas de 0 a 9, como estes?

Que somas poderá obter?

Tem mais hipóteses de obter uma soma do que outra qualquer?

Se sim, qual? E por quê?

E se utilizar dois dados um com 6 faces e outro com 8 faces?
O que acontecerá?

traduzido e adaptado de 

Os burgueses enganados

No início do século XX, várias versões do problema de Josephus aparecem em forma de puzzle, que são comercializados.

Nas versões francesas, de cerca de 1900, os puzzles são compostos por 10 cubos, representando dois conjuntos de personagens: dois burgueses e oito estudantes. O mesmo problema aparece com vários títulos e designs:

Les bourgeois punis

  

Les bourgeois dupés

Le quart d'heure de Rabelais

 O puzzle descrito na caixa do Les bourgeois dupés é o seguinte:

Oito alunos que se pretendem divertir, encontram-se num estabelecimento, sentados à volta de uma mesa, onde ainda há dois lugares livres. Dois burgueses sedentos de participar nas suas conversas animadas, pedem-lhes permissão de ocuparem os lugares vagos da mesa. Eles lha darão de bom coração, mas com a condição seguinte:
É costume entre eles, a seguir a cada serão, de decidir quem paga a conta. Para tal, ao se contarem, o 7.º nada tem a pagar, e continuam, e os dois últimos, que nunca foram o 7.º, pagam a conta.
É conveniente que um aluno escolha de antemão a pessoa porque vai começar.
O objetivo é colocar os dois burgueses de tal forma que estes sejam os dois últimos e sejam obrigados a pagar.

O mesmo problema aparece na língua inglesa, com data desconhecida. As personagens continuam ser os estudantes, e o contexto exatamente o mesmo. Existem duas versões, uma em que apenas um dos dois "citadinos" paga a conta, e outro em que são os dois "desconhecidos" que pagam a conta.