O(s) sobrevivente(s)

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Ilustração do problema no artigo Test Your Wits on These Mathematical Puzzles (Mar, 1932)

Eis uma versão do problema retirado de um aritmética portuguesa datada de 1555,Tratado da Arte da Aritmética, de Bento Fernandes. 

15 Mouros e 15 Cristãos Quinze cristãos navegando pelo mar toparam uma galé de mouros que trazia 15 mouros e pelejaram tanto, de uma parte e da outra, que se não puderam vencer e abalroaram os mouros e entraram dentro. E quando se acharam tantos de uma parte como da outra vieram a partido que se pusessem todos numa roda os mouros entre os cristãos e que contassem de 1 a 9. E em quem acertasse, quer fosse cristão ou mouro, o lançassem ao mar como chegasse a 9. E assim fossem contando, sempre por diante, até chegar a 9 não tornando para trás. E se acertasse de cair nos cristãos os deitassem ao mar e os mouros levassem a presa e acertando nos mouros os deitassem ao mar e os cristãos levassem a presa. Pergunto: de que modo se devem pôr os cristãos e os mouros entre eles para que os mouros se deitem todos ao mar e os cristãos fiquem com a vitória?

O autor português persegue com a resolução:

E por que entre os cristãos havia um homem experimentado na conta, os pôs em ordem de modo que os mouros foram todos lançados ao mar e ficaram os cristãos vivos e com vencimento. E a maneira como se fez sabereis agora: primeiro põe 4 cristãos e depois 5 mouros e depois 2 cristãos e logo 1 mouro; e adiante 3 cristãos e depois 1 mouro; depois 1 cristão e depois 2 mouros  e adiante 2 cristãos e logo 3 mouros; e depois 1 cristão e depois 2 mouros; e depois 2 cristãos e adiante 1 mouro. E assim fazem por todos 30, entre cristãos e mouros, e postos assim em ordem, em roda, como está dito, começando a contar primeiro dos 4 cristãos por diante até chegar a 9, contando adiante sempre sem tornar atrás até chegar a outros 9 e como chegar a 9, lançá-lo ao mar...
	Diagrama do manuscrito do francês Nicolas Chuquet, 1484

Outras versões do problema

Este problema envolve determinar a posição inicial das pessoas que permanecem na roda, inicialmente com um determinado número N de pessoas, depois de algumas terem sido eliminadas através de um processo de contagem de m em m, que tem início numa determinada posição.

O número de pessoas, inicialmente na roda, e o processo de contagem variou ao longo do tempo e de autor para autor, assim como o número de sobreviventes no final da contagem, mas, essencialmente, as versões mais comuns são as seguintes:

• as pessoas estão divididas em dois grupos, um dos quais é eliminado;
• apenas uma das pessoas sobrevive, ou seja todos, excepto a última pessoa, são eliminadas.

A origem do problema

A primeira versão do problema parece ser a mais popular nas aritméticas dos séculos XV e XVII e a mais antiga Smith intitula este tipo de problemas por Cristãos e Turcos. O problema tem origem no folclore irlandês do século IX (Murphy, 1942) , com proveniência nalguma brincadeira infantil.
No folclore irlandês os dois grupos são seleccionados por uma mulher, e em vez da distinção associada à religião, comum à maioria do problemas nas diversas culturas, a distinção tem a ver com questões amorosas. (Murphy, 1942)

A segunda versão do problema aparece em muitos autores Japoneses, não se sabe ao certo a sua origem.  
Alguns autores alegam que o problema poderá ter sido importado para o Japão por Jesuítas portugueses, mas para David Singmaster  o problema terá aparecido do Japão, no século XI, independentemente da Europa, a seguinte versão aparece num manuscrito japonês de 1627. 
  
Era uma vez, um rico agricultor que tinha 30 filhos, 15 da sua primeira mulher, que tinha morrido, e 15 da sua segunda mulher. A segunda mulher estava ansioso que seu filho mais velho deve herdasse a propriedade. Então um dia ela lhe disse:
"Querido marido,devemos resolver quem será o teu herdeiro. Vamos organizar os nossos 30 filhos num círculo, e contando a partir de um deles de 10 em 10, retiramos todos os filhos até ficar só um, que será o seu herdeiro ". 
A proposta parecia razoável. Mas há medida que decorria o processo de seleção, o agricultor ficou surpreendido ao notar que os primeiros 14 filhos a serem excluídos eram os da sua primeira esposa, e apercebeu-se que o próximo a sair do círculo seria o único filho da sua primeira mulher que ainda se encontrava no círculo. Então ele sugeriu que deveriam ver o que aconteceria se começassem a contar para trás a partir deste seu filho. A mulher, forçado a tomar uma decisão imediata, e refletindo que as hipóteses eram agora 15 para 1 em favor dos seus filhos, concordou.

Citado em http://www.cut-the-knot.org/recurrence/ancient.shtml

ilustração do livro japonês Shinpen jinkoki, 1627

  

Ilustação do livro japonês Jingoki deYoshida Mitsuyoshi, 1634

Parece ter sido Cardano, em 1539, que associou o problema pela primeira vez a Josephus Flavius [Flávio Josepo)

Josephus Flavius um judeu do século I,  enfrentou as tropas romanas  em 67 que invadiram a cidade de Jotapata. Ele e quarenta homens, esconderam-se em uma cisterna. Com a descoberta do esconderijo, foi-lhes proposto que se rendessem, mas preferiram o suicídio coletivo. Josefo terá sugerido colocarem-se em círculo e de três em três uma pessoa seria morta, até que houvesse só uma pessoa no final que se suicidaria; no fim apenas Josefo e mais um homem permaneceram vivos, que tinham escolhido as posições 31.ª e 16.ª do círculo.

Janela da Real Basílica do Santuário de Vera Cruz. A aplicação da resolução do problema de Josephus permitiu uma reorganização dos sinais ao redor da janela e facilitou sua tradução, pelo historiador  Pablo Alonso.

Personagens e culturas

Maior parte dos autores que mencionam este problema dão exactamente a versão de Bento Fernandes transcrita em cima. No entanto, as personagens da história nem sempre são as mesmas.

A versão mais comum, durante a Idade Média na Europa envolve 15 cristãos e 15 turcos durante uma tempestade, mas é vulgar os turcos serem substituídos por sarracenos, mouros (no caso português) e judeus, no final, como seria de esperar, os cristãos sobrevivem.

Fillipo Calandri, em cerca de 1500, fornece uma versão com duas ordens religiosas, os Franciscanos e os Calmodolesos numa peregrinação a São Sepulcro, como se pode ver na imagem, é um franciscano que comanda a distribuição, donde de pode deduzir qual o grupo de sobreviventes!

Quando a versão é fornecida por muçulmanos, como por exemplo al-Safadi, cerca de 1370, são os infiéis, que no final, são totalmente dizimados, e os muçulmanos salvos.

No texto, do judeu espanhol ben-Ezra, Ta'hbula de cerca de 1150, ao que parece, a personagem que faz a distribuição é o próprio ben-Erza, distribuindo os 15 alunos e os 15 patifes, de tal forma que os alunos são salvos. Ao que se sabe a versão de ben-Ezra é a primeira a história aparece contada num barco.

Numa história indiana 15 homens bons são salvos e 15 ladrões são dizimados. 

No século XX, várias versões aparecem em forma de puzzle, que são comercializados.

A seguinte versão foi comercializada pela empresa londrina Unicorn Products Ltd., em cerca de 1930.

CANNY SKIPPER PUZZLE

Neste puzzle existe um tabuleiro de jogo onde está representado um barco com 30 lugares e 15 peças pretas e 15 peças brancas, representado os britânicos e os bandidos. 

Para outras versões ver: Os burgueses enganados.

Grupos e contagens

Embora maior parte dos autores tenha dado a versão envolvendo dois grupos de 15 personagens, cada, e em que um dos grupos é eliminado após uma contagem de 9 em 9. Muitos referem outras versões.

Tartaglia (1499 - 1557), por exemplo, dá exemplos com 15 judeus e 15 cristãos, contados desde 3 a 3 até 12 a 12. A imagem ao lado refere-se ao diagrama apresentado por Buteo, em 1559, para a resolução, dos 15 judeus e 15 cristãos contados de 10 em 10.
Chuquet, no seu Triparty, de 1484, generaliza dizendo que podemos ter grupos de 18 cristãos e 18 judeus, ou 24 cristãos e 24 judeus, ou qualquer outro número de pessoas, contados de 10 em 10 ou de 11 em 11 ou como quisermos.

Pacioli (1445 - 1517), em De Viribus quantitatis, fornece três versões com apenas 2 cristãos. Uma, apresentada ao lado, com 30 judeus, contados de 9 em 9, salvando-se, no final, os cristãos. E ainda, os dois exemplos seguintes:

2 cristãos e 18 judeus, contados de 7 em 7	2 cristãos e 30 judeus, contados de 7 em 7.

O problema também aparece só se salvando no final uma das pessoas. Provavelmente o primeiro matemático a introduzir esta versão foi Girolamo Cardano, em 1539. Euler, no seu livro de 1775, Observationes circa novum et singulare progressionum genus, parece ter sido o primeiro a considerar um algoritmo geral para o caso de um único sobrevivente.

Na seguinte página poderá jogar este problema, escolhendo um número de pessoas até 50 e a contagem que pretender:

http://www.cut-the-knot.com/recurrence/flavius.shtml

O problema pode ser generalizado a qualquer número de pessoas, havendo no final um qualquer número de sobreviventes e efectuando-se a contagem que se pretender!

Resolução e mnemónicas

Caso não se pretenda um algoritmo que permita determinar a posição em que se é eliminado, o problema é fácil de resolver. Ozanam, 1778, sugere a seguinte resolução aplicada ao caso em que se quer eliminar 10 pessoas de um total de 40, contando de 12 em 12. 

Colocam-se em círculos 40 «zeros» e começando pelo primeiro, marca-se no décimo segundo uma cruz, continuamos a contar até 12 e marca-se igualmente uma cruz, e assim sucessivamente, tendo em atenção que se deve passar por cima dos que já estão marcados, ..., e então contando a posição [que os marcados] ocupam, começando pelo primeiro, conhecemos facilmente aqueles sobre os quais caí, necessariamente, a contagem de 12 em 12.

Embora o problema seja de muito fácil resolução, muitos autores, a partir do século XII, desenvolveram mnemónicas para se saber, como dispor os «bons» e «maus».  A mais comum para o problema dos 15 cristãos e 15 turcos, contados de 9 em 9, dada, por exemplo, por Chuquet é:

  4  5  21     3   1       1 2    2 3  1  2  2 1
Populeam virgam mater regina tenebat

Em que a = 1, e = 2, i = 3, o = 4, u = 5
e que nos indica que se deve começar por 4 cristãos, seguidos de 5 turcos (judeus), depois 2 cristãos, ...
As duas mnemónicas seguintes têm a mesma equivalência entre as vogais e os algarismos:

Pacioli (1445 - 1517)	Ozaman, 1778

Página criada a 01-04-2004                                                  Última atualização 20-12-2013

Travessias

O lobo a cabra e a couve Ilustração do livro "Problem Solving Through Recreational Mathematics", 1980 Um lobo, uma cabra e uma couve têm de atravessar um rio num barco que transporta um de cada vez, incluindo o barqueiro. Como é que o barqueiro os levará para o outro lado de forma que a cabra não coma a couve e o lobo não coma a cabra?

Como é evidente neste problema, o lobo não pode ser deixado sozinho com a cabra, nem a cabra com a couve.

Ilustração da capa do livro  Introduction to the Design and Analysis of Algorithms de Anany Levitin 

A primeira versão escrita do problema

A primeira versão escrita deste problema é atribuída a Alcuino de York (Problema 18 de Propositiones ad Acuendos Juvenes, século IX). 

Na sua resolução, Alcuino começa por transportar a cabra, depois volta para transportar o lobo para a outra margem, trazendo a cabra de volta, depois leva a couve, voltando por fim para vir buscar a cabra. 

Ilustração do manuscrito Ormesby Psalter do séc. XIII (Oxford, Bodleian Library MS Douce 366, fol. 89r )

O problema na cultura popular

Segundo Marcia Ascher, o problema encontra-se sob a forma de enigma popular em várias culturas: gaulesa, russa, italiana, romana, saxónica, americana, africana. De acordo com cada uma das culturas, as personagens do problema variam.
O problema deve ter chegado à América via Europa , mas neste país as personagens mudam, e o problema aparece da seguinte forma num tratado de aritmética do século XVIII:

A raposa, o ganso e o cesto de milho Um fazendeiro tinha de atravessar o rio com uma raposa, um ganso e um cesto de milho. O seu barco só podia transportar um objecto além do homem. Quantas viagens é que ele fez?

É possível resolver este problema, on-line em:

http://britton.disted.camosun.bc.ca/foxduck/foxduck.htm

Ou fazer o download de um programa, com este problema em:

http://www.delphiforfun.org/Programs/FoxDuckCorn.htm

Marcia Ascher dá-nos conta de várias versões do folclore africano, das personagens da sua história e de outras pequenas alterações, eis alguns exemplos:

   Cabo Verde –as personagens são um lobo, uma cabra e uma couve;       
   Camarões – as personagens são um tigre, um carneiro e uma braçada de junco, o rio é substituído por uma ribeira, e o meio de passagem deixa de ser um barco para passar a ser um tronco de árvore; 

   Argélia – as personagens são um chacal, uma cabra e uma molho de feno, mas neste caso o barco pode transportar dois objectos além do barqueiro; 

  Libéria – as personagens são um leopardo, um bode e um feixe de folhas de mandioca; mas o barco transporta além do barqueiro dois objectos; 

  Zâmbia – os objectos a transportar no barco passam a ser quatro: um leopardo, uma cabra, um rato e um cesto de grãos de kafir; mas o barco só pode transportar um objecto além do barqueiro. Ao aumentar o número de objectos de 3 para 4, o problema torna-se impossível; na tradição oral, o homem acaba por desistir de atravessar o rio; 

  Quénia – a versão é bem diferente das anteriores. Nela três homens casaram recentemente.  Os três casais querem atravessar o rio para ir ao mercado O barco só pode transportar duas pessoas. Mas nenhum dos homens quer deixar a sua mulher com outro homem, nem no barco nem na praia. Todos os homens e mulheres sabem remar.

Puzzle vendido por Rudolf Ackermann em Londres, entre 1798-1826, o envelope continha as figuras do lobo da cabra e da couve e dos três maridos ciumentos e as suas mulheres, assim como o barco.

Ivars Peterson relata a seguinte variante, que aparece na  Rússia, no séc. XX:

Três soldados e dois rapazes Três soldados têm de atravessar um rio que não tem ponte. Dois rapazes concordaram em ajudar os soldados, Mas o barco é tão pequeno que só dá para um soldado ou para os dois rapazes. Um soldado e um rapaz não podem estar no barco ao mesmo tempo. Dado que nenhum dos soldados sabe nadar, parece que nestas circunstâncias apenas um soldado consegue atravessar o rio. No entanto, os três soldados acabam por conseguir atravessar o rio e devolvem o barco aos rapazes. Como é que conseguiram?

Outras versões do problema

A versão popular do Quénia aparece igualmente em Alcuino (problema 17), neste aos três casais recém casados são “substituídos” por 3 pares de irmãos:

Três homens e três irmãs Havia três homens, cada um tendo uma irmã solteira, que precisavam de atravessar um rio. Cada homem desejava as irmãs dos seus amigos. Ao chegar ao rio, encontraram um pequeno barco no qual, de cada vez, só podiam atravessar o rio duas pessoas. Como é que atravessaram o rio, de tal forma que nenhuma das irmãs seja desonrada por um dos homens.

Alcuino fornece igualmente uma versão de um casal: pai e mãe e duas crianças pequenas, no qual o barco só pode levar um adulto ou as duas crianças (problema 19).

O problema com o lobo, a cabra e a couve, aparece posteriormente no manuscrito de Chuquet (1484).  Chuquet resolve de forma semelhante a Alcuino, mas depois de transportar a cabra para a outra margem, volta e transporta a couve, depois traz a cabra de volta e transporta o lobo, por fim vem sozinho para finalmente passar a cabra para a outra margem do rio.

Pacioli em De Viribus (c. de 1500), volta a colocar o problema das três mulheres e dos três maridos ciumentos:

Três mulheres e três maridos ciumentos Três maridos e suas respectivas mulheres devem atravessar um rio numa barca que só transporta no máximo duas pessoas. Os maridos são muito ciumentos, e nenhuma mulher deve ficar com outro homem a não ser na presença do seu marido. Como farão os três casais para atravessarem o rio? Ilustração do problema, num manuscrito italiano do séc. XIV Pacioli coloca o problema para 4 ou 5 casais, mas coloca a condição do barco transportar 3 pessoas a bordo. Esta é a versão de Herny Ernest Dudeney (1857-1930) do problema para cinco casais com a condição de o barco levar 3 pessoas, no contexto de uma inundação: Durante umas inundações cinco casais ficaram cercados por água e tiveram de fugir num barco que só podia transportar três pessoas de cada vez. Cada marido era tão ciumento que  não permitia que a sua mulher estivesse no barco ou em qualquer outro local com outro homem (ou com outros homens) a não ser que ele próprio estivesse presente. Qual é a maneira mais rápida de colocar estes cinco homens e as suas mulheres em segurança?

Tartaglia (1499 – 1557) apresenta o problema para quatro casais, mas mantém a condição de do barco só levar 2 pessoas, o que torna o problema impossível!



Aparentemente a primeira generalização do problema aparece em Bachet de Méziriac (1612):

Três mulheres e três maridos ciumentos (generalização) Um número qualquer n de maridos encontra-se com as suas mulheres para passarem um rio, e avistam um barco sem barqueiro; esse barco não transporta mais do que (n – 1) pessoas. Pergunta-se como é que essas 2n pessoas passarão o rio, de tal forma que nenhuma das mulheres permaneça na companhia de outro homem, ou de outros homens, se o seu marido não estiver presente. Puzzle, feito em madeira,  Bepuzzled, 1997,  Canada

Cadet de Fontanay, em 1879, um jovem aluno do liceu de Montpellier, acrescentou uma ilha ao problema:

A ilha Um número qualquer de maridos, estão com a suas mulheres para atravessar um rio; encontram um barco tão pequeno que, que ele não leva senão duas pessoas. O rio tem uma ilha na qual eles podem descansar. Pergunta-se como é que todas as pessoas atravessam o rio, de tal forma que nenhuma das mulheres fique, seja nas duas margens, no barco ou no rio, na companhia de um ou mais homens, sem que o seu marido esteja presente.

Por sua vez Édouard Lucas (1892), generaliza o problema da seguinte forma:

Um número qualquer n de maridos encontra-se com as suas mulheres para passarem um rio, qual deve ser o número mínimo x de pessoas que um barco pode conter, para efectuar a travessia, sem barqueiro, com a condição que uma mulher não permaneça no barco ou numa das margens do rio na companhia de um ou de vários homens, sem que o seu marido esteja presente.

Muitos outros autores mudaram as personagem ou o contexto do problema ao longo da história.

Joe Jackson (1821) e Mittenzwey (1880), transformam os maridos e as mulheres, em patrões e criados:

Três patrões e três criados  Três patrões e três criados devem atravessar um rio numa barca que pode transportar no máximo duas pessoas. Nenhum dos patrões suporta os serviços dos outros dois criados; de tal forma que se algum deles for deixado com algum dos outros dois criados, infalivelmente o vaiará.

Herny Ernest Dudeney (1857-1930), apresenta a seguinte versão:

O oficial e os seus soldados Durante a debandada turca na Trácia, um pequeno destacamento viu-se confrontado com um largo e fundo rio. No entanto, descobriram um barco com duas crianças a remar. Era tão pequeno que só podia transportar as duas crianças ou um adulto.   Como é que o oficial e os seus 357 soldados atravessaram o rio e deixaram as duas crianças na posse do seu barco? E quantas vezes teve o barco de passar de uma margem para  a outra?

A versão actual mais conhecida do problema é a seguinte:     

Três missionários e três canibais Numa pequena ilha do Pacífico Sul, três missionários e três canibais estão encalhados, numa ilha, com apenas um pequeno barco para chegar a terra firme. Ao planificarem o transporte para terra, os missionários sabem que não podem confiar nos canibais. Por isso, para se salvaguardarem, estabelecem a regra de que os missionários nunca devem estar em menor número do que os canibais, nem na ilha, nem em terra, nem durante o transporte.

Este problema é citado por Vera Sanford  em 1927, pensa-se que tem origem no século XIX! Pode ser resolvido on-line no site:

http://cs.millersville.edu/~webster/mucs.dir/demos/miss.dir/cannibal.html

Boo Boogy Mans um puzzle  comercializado pela Sherms de Connecticut, nos anos 40 do século XX. A caixa contém 6 peças de duas cores diferentes (3 de cada cor), e um pequeno barco. No interior da caixa está desenhado um rio.  

Pesos

Leonardo Scardini, de Curitiba, no Brasil, propõe o seguinte problema que envolve o peso (massa) dos viajantes:

Três homens, pesando 50, 75 e 120 kg querem atravessar um rio, mas o barco que possuem tem capacidade máxima de 150 kg. Como devem proceder para atravessar o rio?

De acordo, com algumas fontes (não muito seguras) as primeiras versões que envolvem pesos devem-se a Tartaglia.

A seguinte versão, com pesos, é de um livro americano de 1905 (Swetz, 2012):

Um homem com a sua mulher e dois filhos pretende atravessar um rio. Têm um barco que apenas transporta 100 libras. O homem pesa 100 libras, a sua mulher pesa 100 libras e cada um dos seus filhos pesa 50 libras. Como podem todos atravessar o rio, utilizando o barco?

O tesouro

Herny Ernest Dudeney (1857-1930), apresenta a seguinte versão, que envolve o transporte de dinheiro:

Três compatriotas encontraram um tesouro, e dividiram-no entre eles: Giles ficou com £ 800,  Jasper com £ 500, e Timothy com £ 300. Voltaram ao rio onde tinham deixado um pequeno barco, mas encontraram uma dificuldade que não tinham previsto. O barco só levava dois homens, ou um homem e um saco , e eles tinham tão pouca confiança uns nos outros que nenhuma deles poderia ser deixado sozinho nem terra ou nem no barco com mais do que a sua parte do tesouro, embora duas pessoas pudessem ficar com mais do as suas partes. Qual é o menor número de vezes em que eles podem atravessar o rio?

Novas versões do problema

Novas versões deste problema podem ser imaginadas por todos.
Esta é a versão apresentada por Ken Johnson e Ted Herr no livro Problem Solving Strategies: Crossing the River with Dogs and Other Mathematical Adventures.

Cinco elementos de uma família e os seus cinco cães (cada elemento da família é dono de um cão), estavam a fazer uma caminhada quando encontraram um rio que tinham de atravessar. Alugaram um barco que apenas transportava três coisas: pessoas ou cães. Infelizmente, os cães eram temperamentais. Cada um deles só se sentia bem com o seu dono e não podia estar ficar com outra pessoa, nem mesmo momentaneamente, a não ser que o seu dono estivesse presente. No entanto, os cães podiam estar perto de outros cães. A travessia teria sido impossível, se não fosse o cão da Lisa ter frequentado uma escola e saber comandar o barco. Mais nenhum cão eram assim tão bem educado.
De que forma é que a travessia do rio foi feita, e quantas viagens é que fizeram?

Alguns leitores deste sítio propuseram novas versões deste problemas, a seguinte curiosamente envolve igualmente cães:

Um grupo de pessoas precisa atravessar um rio em um pequeno barco. Desse grupo fazem parte um agricultor (A), uma ama (B), duas meninas (m1 e m2), dois meninos (g1 e g2), um cachorro (c) e o treinador de cães (T). A travessia tem algumas regras que precisam ser obedecidas: O barquinho só tem 2 lugares e só as pessoas adultas (identificadas com letras maiúsculas) podem operá-lo, ou seja, toda travessia tem que ter pelo menos um adulto. O Agricultor não pode ficar com as meninas sem que a ama esteja por perto. A ama não pode ficar com os meninos sem o agricultor estar por perto. O cachorro morde qualquer pessoa se o treinador não estiver por perto. Tente levar todo o grupo para o outro lado do rio como menor número de viagens possível.

Criação: 04-12-2002   Última atualização: 12-12-2013

Corda dos 13 nós

Consta que os antigos egípcios construíam triângulos retângulos utilizando uma corda dividida, através de nós, em 12 espaços iguais.   

 

Com uma corda atada como esta, que outros triângulos se conseguem construir? (Cada vértice do triângulo deve coincidir com um nó.) 

Que outros polígonos regulares se conseguem construir - ou seja, polígonos com lados iguais e ângulos iguais?

traduzido e adaptado de 

Quantos barris há no monte?

De  Jinkoki, c. 1818, Japão

E mais algumas fotos que podem servir para o mesmo problema:

Problema - Delícias turcas

Esta pirâmide é inteiramente construída a partir de delícias turcas. A base da pirâmide é feita por uma camada com a forma de um quadrado de 16 por 16 delícias turcas, num total de 256 delícias  turcas. Por cima desta camada há um segundo quadrado de 15 por 15, um terceiro quadrado de 14 por 14, e assim sucessivamente, até uma única delicia turca no topo da pirâmide. 

• Quantas delícias turcas estão nas três camadas superiores? 
• Quantas delícias turcas foram utilizadas, ao todo, na pirâmide?

Medindo com vasilhas

Eram dois homens que iam por um caminho. Um levava 8 canadas de vinho numa cabaça e o outro levava 8 canadas de vinho em duas cabaças, cinco canadas de vinho numa e três na outra. Beberam o vinho da cabaça grande que tem 8 canadas e querem se separar e dividir o vinho das outras duas cabaças, cinco numa e três na outra. Querem que nenhum deles leve mais vinho do que o outro, ou seja que cada um leve 4 canadas e não têm medidas nenhumas. Ora eu pergunto de que maneira devem cambar o vinho de umas cabaças para as outras para que nenhum vá enganado. (Gaspar Nicolas, fol 51 v.)

Esta  versão do problema é retirada da primeira aritmética impressa em Portugal, cuja primeira edição é de 1519. 


Experimente fazer este, e outros problemas, clique na vasilha:

 

Ou fazer o download de um programa que resolve, automaticamente, problemas deste tipo em:

http://www.delphiforfun.org/Programs/Measuring_Cups.htm

A primeira versão escrita

A primeira versão escrita do problema parece ser a do manuscrito de um Abade alemão (Albert von Strade), que data de 1240:

Havia 2 vasilhas, uma de 5 “canadas” e uma de 3 “canadas” e uma fonte, posso despejar as vasilhas e enchê-las quando quiser, mas devo obter exactamente 4 “canadas”... Como é que devo fazer?

No tratado de aritmética de Paolo Damogari (Florença, c. 1339) o mesmo problema reaparece.

  Outras versões do Problema

Pacioli, no seu manuscrito De viribus quantitatis  (c. 1550), parece ter sido o primeiro alterar as capacidades das vasilhas:

	dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 7 e outra de 5;
	dividir 10 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 6 e outra de 4;
	dividir 12 “canadas” em partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 8 e outra de 4.

Tartaglia, no seu General Trattato di numeri e misure (1556), além do problema inicial, introduziu um outro problema com mais uma vasilha:

dividir 24 “canadas” em três partes iguais, usando três vasilhas, uma de 5, uma de 11 e outra de 13 “canadas”.

Bachet de Méziriac, em 1624, no seu livro Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, além do problema inicial, introduziu os seguintes:

	dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 9 e outra de 7;
	dividir 16 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 11 e outra de 6;
	dividir 42 “canadas” em duas partes iguais, usando duas vasilhas, uma de 27 e outra de 12.

Uma generalização do problema foi dada por Labosne na sua 5ª edição (1959) do livro de Bachet de Méziriac:

três recipientes a, b e c, estando c cheio, dividir igualmente o conteúdo de c.

Uma formulação mais geral do problema é:

Dado um conjunto de recipientes e fixada a sua capacidade, descobrir que capacidades são mensuráveis, e determinar o número máximo e mínimo de passos necessários para medir tal capacidade.

Última actualização 04-12-2002

Carteiros - Problemas

Eis uma versão do problema retirado de um aritmética portuguesa, impressa no Porto e datada de 1555, Tratado da Arte da Aritmética, de Bento Fernandes. 

A raposa e o galgo Uma raposa vai diante de um galgo 100 braças e, cada vez que a raposa faz 4 braças. o galgo faz 5. Pergunto, a quantas braças se juntarão ambos? (Bento Fernandes, fol 100 v)

Uma versão deste problema em que um cão persegue uma lebre, mas em que se pode variar a velocidade com que cada um se desloca, e a sua distância de partida, pode ser trabalhado a partir do programa de computador Jogo de Funções.  

A primeira versão escrita do problema

No capítulo VI  do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C., aparecem, pelo que se sabe, pela primeira vez algumas versões do problema:  

Um bom caminhante cobre 100 bu, enquanto que um mau caminhante 60 bu. Suponha que o último vai à frente do primeiro 100 bu e que este o apanha. Diz: em quantos bu irão os dois lado a lado?

O problema nas diferentes civilizações

Esta versão mais simples do problema não aparece na Grécia, mas em diversas outras civilizações, e parece ter entrado na Europa via árabes.

  Índia 

No manuscrito de Bakhshali de cerca do século III d.C., aparecem diferentes versões deste problema: 

Uma pessoa vai a 5 yojanas ao dia. Quando já tinha andado durante sete dias, a segunda pessoa, cuja velocidade é 9 yojanas por dia, parte. Em quantos dias é que a segunda pessoa apanha a primeira?

No trabalho do matemático Sridhara, do século IX, aparece também este problema. Eis, uma adaptação da sua versão:

Dois viajantes partem ao mesmo tempo para um destino a 100 km de distância. As suas velocidades são, respectivamente, 2 km/h e 8 km/h. O mais veloz dos dois ao voltar encontra o mais lento. Quando é que os dois se encontram?

   China
Na China, o mesmo tipo de problema volta a aparecer no século V, no Manual Aritmético foi escrito por Zhang Quijian.

Uma estrada circular à volta de uma montanha tem 325 li de comprimento. Três pessoas A, B e C vão ao longo da estrada. A caminha a 150 li por dia, B a 120 li por dia e C a 90 li por dia. Se começarem todas do mesmo ponto, ao fim de quantos dias se voltarão a encontrar?

   Europa
O problema aparece a primeira vez na Europa no manuscrito, do século X, de Alcuino de York:

Há um terreno com 150 pés de comprimento. Numa extremidade está um cão, no outro uma lebre. O cão avança para caçar a lebre. Mas enquanto o cão avança nove pés por passo, a lebre anda apenas sete. Diz, aquele que quer, quantos pés o cão faz na perseguição da lebre em fuga até esta ser apanhada?

Maior parte das aritméticas europeias medievais e da época renascentista e mesmo os manuais escolares do século XX continham versões destes problema. 

As versões do problema

Smith considera estes problemas com um cunho bastante real, uma vez que é comum a situação em que alcançamos, ou nos cruzamos com um amigo numa caminhada.
É evidente que, neste problema, a situação real é matematizada, considerando-se, normalmente, o caminho seguido pelos personagens o mesmo, e sendo, pelo menos implicitamente, normalmente, realizado em linha recta.

Como se pode ver pelos exemplos apresentados, existem inúmeras versões deste problema.
O problema envolve normalmente duas personagens que se deslocam:

  na mesma direcção e sentido, com velocidades constantes diferentes, o que corresponde normalmente a situações de perseguição.
Nas situações apresentadas até agora pede-se ao fim de que espaço as duas personagens se encontram, mas noutras variantes é pedido a velocidade de uma das personagens, como nos dois exemplos que se seguem. 

Uma lebre corre 100 bu à frente de um cão. O cão persegue a lebre durante 250 bu, mas a lebre ainda está 30 bu à sua frente. Em quantos buo cão apanhará a lebre? em  Nove capítulos da Arte Matemática (séc. I a.C.)

Um carteiro parte de Madrid para Roma e não se sabe quantas léguas caminha por dia; mas sabe-se que outro carteiro partiu 4 dias depois da mesma vila de Madrid, e foi pelo mesmo caminho, para Roma, o qual caminha 20 léguas por dia. E alcançou o primeiro correio em 6 dias. Pergunto: quantas léguas caminha o primeiro carteiro, cada dia? em  Arithmetica pratica de Jerónimo Cortés (1604.)

 na mesma direcção e sentidos contrários, com velocidades constantes diferentes, o que corresponde normalmente a situações de encontros.
O seguinte problema é a primeiro vez que esta versão aparece eencontra-se, também, no tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.

A parte de Chang’na para Qi levando 5 dias. B parte de Qi para Chang’nalevando 7 dias. Supondo que B parte 2 dias antes de A. Diz: quando é que se encontrarão?

Os dois exemplos seguintes são retirados de aritméticas portuguesas do século XVI.

Um homem vai de uma cidade para outra em 6 dias e outro vem em contrário e da outra cidade para aquela donde partiu o outro em 8 dias. Ora eu demando, em quantos dias se encontraram estes homens no caminho e a quantas horas, sendo o dia de 15 horas? (Gaspar Nicolas, fol 55 v)

É uma árvore que tem de altura 100 braças e em cima da dita árvore está um galo que vem descendo para baixo, e em cada dia desce 3 braças continuamente, e em baixo está uma raposa que vai para cima e cada dia sobe uma braça. Pergunto, em quantos dias se juntaram o galo e a raposa, continuando ambos o seu caminho? (Bento Fernandes, fol 101 v)

Se originalmente o problema pode ter tido um cariz real, veja-se como esta versão é em completamente absurda, o que aliás em muito comum na evolução de alguns problemas.

 na mesma direcção e sentido, mas que depois mudam de sentido.
Também neste caso a primeira versão é do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.

Um convidado que cavalga a 300 li por dia. O convidado deixa as suas roupas para trás. O dono da casa descobre-as após 1/3 de dia, e saí com as roupas. Assim que alcança o convidado, o dono da casa dá-lhe as suas roupas e regressa a casa em ¾ de dia. Supondo que cavalga sem parar. Diz: quanto é que ele consegue andar num dia?

 na mesma direcção e sentido ou em sentidos contrários, mas comvelocidades que não são constantes e que crescem em progressão geométrica.
Também neste caso as primeiras versão aparecem no capítulo VII do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C.
Para conhecer alguns exemplos deste tipo de problemas veja a página «Carteiros 2».

 na mesma direcção e sentido ou em sentidos contrários, mas comvelocidades constantes mas num percurso circular.
A primeira versão deste problema, que encontrei, foi a do chinês Zhang Quijian, do século V, já apresentada acima.
O exemplo seguinte foi retirado da aritmética do matemático espanhol Joan Ventallol, publicada em 1521.

Dois homens correm ao redor de uma cidade redonda e muralhada. Os dois começam a correr ao mesmo tempo e do mesmo lugar. Um demora 4 horas a dar a volta e o outro necessita de 5+1/2 horas. Os dois correm até que o mais rápido alcança o outro. Em quantas horas o conseguirá?

As personagens do problema

O problema ficou conhecido como o problema dos carteiros, porque nalgumas versões dos autores medievais e renascentistas, as personagens são carteiros que levam mensagens de uma terra para outra. Tal deve-se ao facto de nessa época, como refere Smith, a comunicação comercial ser feita a través de carteiros que viajavam regularmente de uma cidade para a outra.
	Köbel, 1514

Este novo contexto não se limita exclusivamente a "perseguições", mas também a encontros, uma vez que os carteiros podiam viajar tanto no mesmo sentido como em sentidos contrários.
A versão do problema envolvendo carteiros parece ser de origem italiana, uma vez que maior parte dos autores de outras nacionalidade referem-se normalmente a cidades italianas nos seus problemas.

Eis, um exemplo retirado da Arithmetica pratica do matemático espanhol Jerónimo Cortés, publicada em 1604.

No primeiro dia de Abril partiram dois carteiros, um de Valência a Sevilha, e o outro de Sevilha a Valência, caminho de 84 léguas. O que parte de Valência caminha cada dia 10 léguas e o que parte de Sevilha caminha por dia 14 léguas. Pergunto: em quantos dias se encontrarão, caminhando os dois por um caminho?

No entanto, noutras versões encontramos outras personagens:

 animais 
O mais comum são os problemas em que um cão persegue uma raposa ou uma lebre, que aparecem pela primeira do tratado chinês Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C. Outros exemplos, além daqueles que já foram aqui referidos são: 

• No tratado dell’abacho de Paolo Damogari, de 1339: 

A raposa  está a uma distância de 40 dos seus passos do cão, 5 passos do cão correspondem a 3 da raposa.
Noutro exemplo, o cão e uma lebre estão a uma distância de 100 pés, enquanto o cão anda 10 pés a lebre anda 7. 

No manuscrito de Muscarello de 1478: A lebre e o cão estão a uma distância de 70 pés. O passo do cão é 7/5 do passo da lebre.
	Página do manuscrito de Muscarello

• No trabalho de Fillipo Calandri, de 1491:    

A lebre tem um avanço em relação ao cão de 3000 passos, 5 passos da lebre correspondem a 8 passos do cão.

• Na Suma de Pacioli, de 1494: 

A lebre tem um avanço em relação ao cão de 60 passos, e cada vez que a lebre faz 5 passos o cão faz 7.  

Aparecem problemas com outros animais, tais como, aves, formigas, ratazanas, ... 

Problema 20  (Nove capítulos da Arte Matemática)
Um pato selvagem voa do mar do sul para o mar do norte em 7 dias e um ganso selvagem voa do mar do norte para o mar do sul em 9 dias. Suponha que as duas aves partem ao mesmo tempo. Diz: quando é que se encontrarão?
Solução: 3+15/16 dias

Problema 12 (Nove capítulos da Arte Matemática)
Há uma parede com 5 chi de espessura, duas ratazanas escavam de lados opostos o túnel. No primeiro dia a ratazana grande escava 1 chi, a pequena, também, escava 1 chi. A ratazana grande duplica, diariamente, o que escava, a pequena reduz, diariamente, a metade o que escava.  Diz: o número de dias até que as duas ratazanas se encontrem. As distâncias escavadas pelas duas.
Solução: 2+6/13 dias, cada um terá 4 chi 8+6/13 cun de comprimento

Problema 19 (Nove capítulos da Arte Matemática)
Dois cavalos, um bom e um mau, partem de Chang'an para Qi. A distância entre Chang'an e Qi é de 3000 li. O cavalo bom avança no primeiro dia 193 li, e nos dias seguintes, aumenta por dia o seu percurso 13 li. O cavalo mau avança 97 lino primeiro dia e diminui de seguida o seu percurso em meio li por dia. O cavalo bom chega primeiro a Qi depois volta pelo mesmo caminho e encontra o cavalo mau. Diz: ao fim de quantos dias os dois cavalos se reencontram  e que distância é que cada um deles percorreu? 
Solução: 15+135/191 dias até se encontrarem, o cavalo bom viajou 4534+46/191 li e o cavalo mau viajou 1465+145/191li

 plantas

Problema 10 (Nove capítulos da Arte Matemática)Há um muro de 9 chi de altura. É plantada uma planta em cima, o caule cresce-se para baixo 7 cun por dia. É plantada uma planta em baixo o caule cresce-se para cima 1 chi por dia. Diz: o número de dias em que se encontram e quanto é que cada uma das plantas cresce? 
Solução: 5+5/17 dias, a planta de cima cresce 3 chi 7+1/17 cun; a de baixo cresce 5 chi 2+16/17 cun
Problema 11 (Nove capítulos da Arte Matemática)
O junco cresce 3 chi no primeiro dia, a cana cresce 1 chi no primeiro dia. Todos os dias o junco cresce metade do que cresceu no dia anterior; a cana, todos os dias, duplica o seu crescimento. Diz: o número de dias até que as suas alturas sejam iguais.  
Solução: 2+6/13 dias, cada um terá 4 chi 8+6/13 cun de comprimento.

 viajantes

Problema 13 (Nove capítulos da Arte Matemática)
Um mau caminhante vai à frente 10 li. Um bom caminhante persegue-o durante 100 li . E fica à frente do mau caminhante em 20 li . Diz: em quantos li é que o bom caminhante apanha o mau caminhante?  Solução: 33+1/3 li.

naus, este contexto aparece igualmente na idade média com o desenvolvimento do comércio marítimo. O primeiro problema, que se segue, é retirado de uma aritmética de 1485, publicada em Florença e atribuída a Calandri, o segundo é retirado da Aritmética do espanhol Joan Ventallol de 1521.
	Pier Maria Calandri, 1485

Uma nau vai de Marselha para Liverno em 7 dias uma outra de Liverno para Marselha em 4 dias. Após quantos dias em que se cruzam?

Uma nau sai de Nápoles para Barcelona e faz a sua viagem em 30 dias. Outra sai de Barcelona para Nápoles e faz a viagem em 20 dias. Saem as duas ao mesmo tempo. Pergunto: em quanto tempo de devem encontrar?